□投稿者/ らすかる 一般人(10回)-(2023/09/15(Fri) 08:39:07)
 | ※一部未証明です。
n=1,2は条件を満たす。
nが3以上の奇数のとき、m=n+1とすればgcd(n,m)=1かつmが非素数（4以上の偶数）なので不適。
nが4以上で3で割り切れない偶数のとき、n<m<3n, m=3^kを満たすmが存在するので不適。
よってn≧3ではnが6の倍数の場合のみ考えればよい。
n=6は条件を満たす。
n=12,18,24のときm=25がnと互いに素な非素数。
n=30,36,42,48のときm=49がnと互いに素な非素数。
n=54のときm=121がnと互いに素な非素数。
k≧5のときprime[k+2]/prime[k]＜√3（要証明だが難しいかも）だから
3n＞13^2のときnと3nの間に素数の2乗が2個以上存在する。
よってn≧60のときnと3nの間に素数の2乗p^2とq^2が存在し、
gcd(n,p)=1またはgcd(n,q)=1のいずれかが成り立つので
m=p^2またはm=q^2がnと互いに素な非素数となる。
よって条件を満たすnはn=1,2,6の3個のみ。
# というわけで、まず間違いなく成り立つであろう「k≧5のときprime[k+2]/prime[k]＜√3」が示せれば、上記が成り立ちます。
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