□投稿者/ WIZ 一般人(2回)-(2023/09/11(Mon) 00:18:25)
 | 3x^2-5x+1 = 0とおくと、x = (5±√13)/6ですので、
u = (5+√13)/6, v = (5-√13)/6とすれば、3x^2-5x+1 = 3(x-u)(x-v)です。
よって、
1/(3x^2-5x+1) = 1/{3(x-u)(x-v)}
= (1/(3(u-v))){1/(x-u)-1/(x-v)}
= (1/√13){(1/v)/(1-x/v)-(1/u)/(1-x/u)}
= (1/√13){3u/(1-3ux)-3v/(1-3vx)}
= (3/√13){uΣ[k=0,∞]((3ux)^k)-vΣ[k=0,∞]((3vx)^k)}
= (3/√13)Σ[k=0,∞]{(3^k)((u^(k+1))-(v^(k+1)))(x^k)}
但し、xの値に関わらずx^0 = 1とします。
以上から、自然数nに対してa[n] = {((3u)^(n+1))-((3v)^(n+1))}/√13となります。
u > 1 > v > 0なので、(u^(n+1))-(v^(n+1)) > 0ですので、a[n] > 0と言えそうです。
# 計算間違いしている可能性もあるので、質問者さんの方で良く検算してみてください。
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