数学ナビゲーター掲示板 [One Message View / Re[1]: 行列のノルム]

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　行列のノルム

□投稿者/ nacky 一般人(2回)-(2022/10/18(Tue) 11:40:49)

まず実数からなる集合 $2$S,T$ が $2$S\subset T$ となっているとき $2$\sup S\leq\sup T$ が成り立つので
$2$\sup_{v\ne 0}\frac{|Av|}{|v|}\geq \sup_{|v|=1}\frac{|Av|}{|v|}=\sup_{|v|=1}|Av|$
が成り立つ.

また $2$e>0$ を任意にとると上限の定義よりある $2$w\ne 0$ について
$2$\sup_{v\ne 0}\frac{|Av|}{|v|}-e<\frac{|Aw|}{|w|}$
が成り立つ. ここで $2$u=\frac w{|w|}$ とおくと $2$|u|=1$ であり
$2$\sup_{v\ne 0}\frac{|Av|}{|v|}-e<\frac{|Aw|}{|w|}=|Au|\leq\sup_{|v|=1}|Av|$
が成り立つ. $2$e>0$ は任意だったので $2$e\to 0$ と極限をとると
$2$\sup_{v\ne 0}\frac{|Av|}{|v|}\leq\sup_{|v|=1}|Av|$
が得られる.

ちなみにですが実際は
$2$\left\{\frac{|Av|}{|v|}\middle|v\ne 0\right}=\{|Av|\ \mid\ |v|=1\}$
であることから求める等式は得られます.

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