□投稿者/ X 一般人(4回)-(2022/07/01(Fri) 22:29:59)
 | 以下の方針はオイラーの公式を学習済みという前提ですので
注意して下さい。
問題の方程式から
(z-1)(w-1)=1 (A)
|z|=|w|=1 (B)
(B)より
z=e^(ia) (C)
(但し0≦a＜2π (D))
w=e^(ib) (E)
(但し0≦b＜2π (F))
と置くことができます。
(C)(E)を(A)に代入すると
e^{i(a+b)}-e^(ia)-e^(ib)=0
∴e^(ia)-e^{i(a-b)}=1
となるので複素数の相等の定義により
cosa-cos(a-b)=1 (G)
sin(a-b)=0 (H)
(D)(F)より
-2π＜a-b＜2π
∴(H)より
a-b=0,π,-π
(i)a-b=0のとき
(G)より
cosa=2
ゆえ題意を満たす(z,w)の組は存在しません。
(ii)a-b=πのとき
(G)より
cosa=0
∴(C)より
a=π/2,3π/2
となるので(F)より
(a,b)=(3π/2,π/2)
∴(C)(E)から
z=-i,w=i
(iii)a-b=-πのとき
(C)(G)より
a=π/2,3π/2
∴(F)より
(a,b)=(π/2,3π/2)
∴(C)(E)から
z=i,w=-i
以上から
(z,w)=(i,-i),(-i,i)
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