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■51892 / 1階層) 　不等式
□投稿者/ X 一般人(1回)-(2022/06/22(Wed) 22:52:10)
    証明すべき不等式を(A)とすると
    0＜x＜1 (B)
    により
    (A)⇔(4-πx)√(1+x)-4√(1-x)＞0
    ⇔{(1+x)(4-πx)^2-16(1-x)}/{(4-πx)√(1+x)+4√(1-x)}＞0
    ⇔(1+x)(4-πx)^2-16(1-x)＞0
    ⇔(x+1){(πx)^2-8πx+16}+16x-16＞0
    ⇔(π^2)x^3-8πx^2+32x+(πx)^2-8πx＞0
    ⇔(π^2)x^2-8πx+32+(π^2)x-8π＞0
    ⇔(π^2)x^2-(8π-π^2)x+32-8π＞0 (A)'
    ここで
    f(x)=(π^2)x^2-(8π-π^2)x+32-8π
    と置くと
    f(x)=(π^2){x^2-(8/π-1)x}+32-8π
    =(π^2){x-(4/π-1/2)}^2+32-8π-(4-π/2)^2
    =(π^2){x-(4/π-1/2)}^2+16-4π-(π^2)/4
    で
    0＜4/π-1/2＜1
    ゆえ
    f(x)≧16-4π-(π^2)/4＞16-3.2・4-(3.2^2)/4=16-12.8-2.56＞0
    ∴(A)'は成立するので(A)は成立します。
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上記関連ツリー

Nomal 不等式 / 教えてください (22/06/22(Wed) 21:36) #51891
├Nomal 不等式 / X (22/06/22(Wed) 22:52) #51892 ←Now
└Nomal Re[1]: 不等式 / らすかる (22/06/22(Wed) 22:57) #51893
  └Nomal Re[2]: 不等式 / 教えてください (22/06/24(Fri) 11:03) #51894 解決済み!

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