□投稿者/ nacky 一般人(2回)-(2021/12/22(Wed) 10:08:19)
 | x=a+2b, y=2a-b とおくと条件より |x|=|y|=1 であり
a=(x+2y)/5, b=(2x-y)/5
となります.
よって
a-2b=(-3x+4y)/5
となるので問題は
「|x|=|y|=1 のとき |(-3x+4y)/5| の範囲を求めよ」
と言い換えることができます. これを解きましょう.
まず
|(-3x+4y)/5|=|-3x+4y|/5
なので |-3x+4y| の範囲を調べます.
二つのベクトル u,v の内積を単に積の様に uv と書くことにすると
|-3x+4y|^2=(-3x+4y)(-3x+4y)
=9|x|^2-24xy+16|y|^2
=25-24xy (|x|=|y|=1 を使った)
内積の定義より
xy=|x||y|cosθ=cosθ
となり
-1<=xy<=1
となることがわかるので
1<=|-3x+4y|^2<=49.
|-3x+4y| は非負の数なので
1<=|-3x+4y|<=7
したがって
1/5<=|(-3x+4y)/5|<=7/5
である.
以上から答えのとおり
1/5<=|a-2b|<=7/5
が得られました.
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