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■50893 / inTopicNo.1)  ベクトルの大きさ
  
□投稿者/ 掛け流し掛け流し 一般人(1回)-(2021/07/07(Wed) 23:39:36)
    平面上のベクトル a,bが

      |a+2b|=1、|2a−b|=1

    を満たしているとき、|a−2b|の取り得る値の範囲を求めよ。

    (答えは、1/5<=|a−2b|<=7/5)

    の解法を教えてください。

    よろしくお願いします。
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■50895 / inTopicNo.2)  Re[1]: ベクトルの大きさ
□投稿者/ WIZ 一般人(12回)-(2021/07/08(Thu) 13:44:08)
    2021/07/08(Thu) 15:19:21 編集(投稿者)

    xy座標でべクトルを原点 (0, 0) を始点とた終点の座標 (x, y) で表すことにすると、
    |(x, y)| = √(x^2+y^2) です。

    p, q, r, s を実数として、a = (p, q), b = (r, s) とします。

    |a+2b| = |(p, q)+2(r, s)| = |(p+2r, q+2s)| = 1
    ⇒ (p+2r)^2+(q+2s)^2 = 1^2 ・・・・・(0)

    上記より、ある実数 u が存在して
    p+2r = cos(u) ・・・・・(1)
    q+2s = sin(u) ・・・・・(2)
    とおけます。

    |2a-b| = |2(p, q)-(r, s)| = |(2p-r, 2q-s)| = 1
    ⇒ (2p-r)^2+(2q-s)^2 = 1^2

    上記より、ある実数 v が存在して
    2p-r = cos(v) ・・・・・(3)
    2q-s = sin(v) ・・・・・(4)
    とおけます。

    (1)(3)より
    (p+2r)+2(2p-r) = cos(u)+2cos(v)
    ⇒ p = (cos(u)+2cos(v))/5 ・・・・・(5)
    ⇒ r = 2(cos(u)+2cos(v))/5-cos(v) = (2cos(u)-cos(v))/5 ・・・・・(6)

    (2)(4)より
    (q+2s)+2(2q-s) = sin(u)+2sin(v)
    ⇒ q = (sin(u)+2sin(v))/5 ・・・・・(7)
    ⇒ s = 2(sin(u)+2sin(v))/5-sin(v) = (2sin(u)-sin(v))/5 ・・・・・(8)

    |a-2b| = |(p, q)-2(r, s)| = |(p-2r, q-2s)|
    ⇒ |a-2b|^2 = (p-2r)^2+(q-2s)^2 = (p+2r)^2+(q+2s)^2-8pr-8qs
    (0)(5)(6)(7)(8)より、
    ⇒ |a-2b|^2 = 1-8((cos(u)+2cos(v))/5)((2cos(u)-cos(v))/5)-8((sin(u)+2sin(v))/5)((2sin(u)-sin(v))/5)
    = 1-(8/25)((cos(u)+2cos(v))(2cos(u)-cos(v))+(sin(u)+2sin(v))(2sin(u)-sin(v)))
    = 1-(8/25)(2cos(u)^2+3cos(u)cos(v)-2cos(v)^2+2sin(u)^2+3sin(u)sin(v)-2sin(v)^2)
    = 1-(8/25)(2(cos(u)^2+sin(u)^2)+3(cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v))-2(cos(v)^2+sin(v)^2))
    = 1-(8/25)(2+3cos(u-v)-2)
    = 1-(24/25)cos(u-v)

    -1 ≦ cos(u-v) ≦ 1 ですから
    1-(24/25)(1) ≦ |a-2b|^2 ≦ 1-(24/25)(-1)
    ⇒ 1/25 ≦ |a-2b|^2 ≦ 49/25

    |a-2b| ≧ 0 だから、1/5 ≦ |a-2b| ≦ 7/5 となります。
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■50897 / inTopicNo.3)  Re[2]: ベクトルの大きさ
□投稿者/ 掛け流し掛け流し 一般人(2回)-(2021/07/09(Fri) 02:30:10)
    分かりずらいよ。もっと短く説明して
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■51789 / inTopicNo.4)  Re[1]: ベクトルの大きさ
□投稿者/ nacky 一般人(2回)-(2021/12/22(Wed) 10:08:19)
    x=a+2b, y=2a-b とおくと条件より |x|=|y|=1 であり
    a=(x+2y)/5, b=(2x-y)/5
    となります.
    よって
    a-2b=(-3x+4y)/5
    となるので問題は
    「|x|=|y|=1 のとき |(-3x+4y)/5| の範囲を求めよ」
    と言い換えることができます. これを解きましょう.

    まず

    |(-3x+4y)/5|=|-3x+4y|/5

    なので |-3x+4y| の範囲を調べます.
    二つのベクトル u,v の内積を単に積の様に uv と書くことにすると

    |-3x+4y|^2=(-3x+4y)(-3x+4y)
    =9|x|^2-24xy+16|y|^2
    =25-24xy   (|x|=|y|=1 を使った)

    内積の定義より

    xy=|x||y|cosθ=cosθ

    となり

    -1<=xy<=1

    となることがわかるので

    1<=|-3x+4y|^2<=49.

    |-3x+4y| は非負の数なので

    1<=|-3x+4y|<=7

    したがって

    1/5<=|(-3x+4y)/5|<=7/5

    である.

    以上から答えのとおり

    1/5<=|a-2b|<=7/5

    が得られました.

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