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■50889 / 1階層) 　フィボナッチ数列について。
□投稿者/ WIZ 一般人(11回)-(2021/07/06(Tue) 23:29:21)
    (A) フィボナッチ数の加法定理 F[m+n] = F[m]F[n+1]+F[m-1]F[n] の証明

    m, n は自然数で、m ≧ 2 とする。

    m = 2 の場合、F[1] = F[2] = 1 なので、
    F[2+n] = F[n+1]+F[n] = F[2]F[n+1]+F[2-1]F[n] となり加法定理は成立する。

    m = 3 の場合、F[2] = 1, F[3] = 2 なので、
    F[3+n] = F[n+2]+F[n+1] = (F[n+1]+F[n])+F[n+1] = 2F[n+1]+F[n] = F[3]F[n+1]+F[3-1]F[n]
    となり加法定理は成立する。

    k を 3 以上の自然数として、m = k と m = k-1 で加法定理の成立を仮定すると、
    F[(k+1)+n] = F[k+n]+F[(k-1)+n]
    = (F[k]F[n+1]+F[k-1]F[n])+(F[k-1]F[n+1]+F[k-2]F[n])
    = (F[k]+F[k-1])F[n+1]+(F[k-1]+F[k-2])F[n]
    = F[k+1]F[n+1]+F[k]F[n]
    となり、m = k+1 でも成立する。

    以上から、数学的帰納法により 2 以上の自然数 m と 任意の自然数 n に対して、
    F[m+n] = F[m]F[n+1]+F[m-1]F[n] が成立する。


    (B) フィボナッチ数の整除定理 m | n ならば F[m] | F[n] の証明

    n を 2 以上の自然数とすると、加法定理より、
    F[n+n] = F[n]F[n+1]+F[n-1]F[n] = F[n](F[n+1]+F[n-1])
    つまり、F[n] | F[2n] が成立する。

    k を 2 以上の自然数、u を自然数として、F[kn] = u*F[n] を仮定すると、
    F[(k+1)n] = F[n]F[kn+1]+F[n-1]F[kn]
    = F[n]F[kn+1]+F[n-1]*u*F[n]
    = F[n](F[kn+1]+F[n-1]*u)
    となり、F[n] | F[(k+1)n] が成立する。

    以上から、数学的帰納法により v と n を 2 以上の自然数とするとき
    F[n] | F[vn] が成立する。
    # n = 1 や v = 1 でも上記は成立しますが。


    (C) F[p] が素数ならば、p は奇素数であるか 4 であることの証明

    3 以上の自然数 a と 2 以上の自然数 b が存在して p = ab ならば、
    a < p であり、1 < F[a] < F[p] かつ整除定理より F[a] | F[p] となり
    F[p] は素数ではありえない。

    従って、F[p] が素数となるためには p は真の約数を持たないか、
    真の約数の値が 2 以下の場合である。

    真の約数を持たないということは、p は素数であるということてある。
    但し、F[2] = 1 は素数ではないので、p は奇素数である。
    真の約数の値が 2 以下ということは p は 2 の冪であることが必要だが、
    2^3 = 8 は 4 という真の約数を持つため、可能性は p = 2^2 のみとなるが、
    F[4] = 3 は素数である。

    以上から、F[p] が素数ならば、p は奇素数か 4 であるといえる。
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上記関連ツリー

Nomal フィボナッチ数列について。 / メラゾーム (21/03/19(Fri) 03:07) #50674
├Nomal Re[1]: フィボナッチ数列について。 / WIZ (21/07/05(Mon) 19:33) #50884
├Nomal Re[1]: フィボナッチ数列について。 / WIZ (21/07/06(Tue) 21:06) #50888
└Nomal フィボナッチ数列について。 / WIZ (21/07/06(Tue) 23:29) #50889 ←Now

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