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■50888 / 1階層) 　フィボナッチ数列について。
□投稿者/ WIZ 一般人(9回)-(2021/07/06(Tue) 21:06:24)
    F[n-1]F[n+1]-F[n]^2 = (-1)^n の証明

    n を 2 以上の自然数として G[n] = F[n-1]F[n+1]−F[n]^2 とします。
    G[2] = F[1]F[3]−F[2]^2 = 1*2-1^2 = 1 = (-1)^2

    k を 2 以上の自然数として G[k] = (-1)^k と仮定します。
    G[k+1] = F[k]F[k+2]-F[k+1]^2
    = (F[k+1]-F[k-1])(F[k]+F[k+1])-F[k+1]^2
    = F[k+1]F[k]+F[k+1]^2-F[k-1]F[k]-F[k-1]F[k+1]-F[k+1]^2
    = (F[k+1]-F[k-1])F[k]-F[k-1]F[k+1]
    = F[k]^2-F[k-1]F[k+1]
    = -G[k]
    = (-1)^(k+1)

    以上から数学的帰納法により 2 以上の自然数 n に対して
    G[n] = F[n-1]F[n+1]-F[n]^2 = (-1)^n が成立する。
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上記関連ツリー

Nomal フィボナッチ数列について。 / メラゾーム (21/03/19(Fri) 03:07) #50674
├Nomal Re[1]: フィボナッチ数列について。 / WIZ (21/07/05(Mon) 19:33) #50884
├Nomal フィボナッチ数列について。 / WIZ (21/07/06(Tue) 21:06) #50888 ←Now
└Nomal Re[1]: フィボナッチ数列について。 / WIZ (21/07/06(Tue) 23:29) #50889

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