数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[9]: 基底変換行列と表現行列との関係 / Page: 0]

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■39215 / inTopicNo.1)

　基底変換行列と表現行列との関係

□投稿者/ test 一般人(1回)-(2009/08/03(Mon) 03:05:21)

f:V→Wを線形写像,{v_1,v_2,…,v_m},{v'_1,v'_2,…,v'_m}をVの基底,{w_1,w_2,…,w_n},{w'_1,w'_2,…,w'_n}をWの基底,
そしてPとQを基底変換行列,つまり,v'_i=Σ_{j=1}^m p_ij v_j…①, w'_i=Σ_{j=1}^m q_ij w_j,
そして
A:=(a_ij)をfの{v_1,v_2,…,v_m}から{w_1,w_2,…,w_n}による表現行列,
A':=(a_ij)をfの{v'_1,v'_2,…,v'_m}から{w'_1,w'_2,…,w'_n}による表現行列とすると
夫々,f(v_i)=Σ_{i=1}^n (a_ij) w_j、f(v'_i)=Σ_{i=1}^n (a'_ij) w'_j (但し,i=1,2,…,m)
と書けますね。

この時,f(v'_i)=f(Σ_{i=1}^m p_ij v_i) (∵①) =Σ_{i=1}^m p_ij f(v_i) (∵fは線形写像)と書けるので
t(f(v'_1),f(v'_2),…,f(v'_m))=P t(f(v_1),f(v_2),…,f(v_m))…② (但し,tは転置行列の意味)と書けて
そして,
t(f(v_1),f(v_2),…,f(v_m))=A t(w_1,w_2,…,w_n)…③,
t(f(v'_1),f(v'_2),…,f(v'_m))=A' t(w'_1,w'_2,…,w'_n)…④,
t(v'_1,v'_2,…,v'_m)=P t(v_1,v_2,…,v_m)…⑤,
t(w'_1,w'_2,…,w'_mn=Q t(w_1,w_2,…,w_n)…⑥
で従って③に②,⑥を代入して
P^-1 t(f(v'_1),f(v'_2),…,f(v'_m))=AQ^-1 t(w'_1,w'_2,…,w'_n)となり
t(f(v'_1),f(v'_2),…,f(v'_m))=PAQ^-1 t(w'_1,w'_2,…,w'_n)
これを④と見比べると
A'=PAQ^-1となるのですが書籍等には
A'=Q^-1APの順になっているのですが私のA'=PAQ^-1はどこを間違っているのでしょうか?

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■39219 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 基底変換行列と表現行列との関係

▲▼■

□投稿者/ FUD 一般人(3回)-(2009/08/03(Mon) 15:09:19)

2009/08/04(Tue) 01:46:41 編集(投稿者)

互いに双対の関係にある基底変換と座標変換とをごちゃまぜにしてるのが悪いんじゃないの。

問題の設定は

$2$f\left((\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m)\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_m\end{pmatrix}\right)=:(\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n)A\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_m\end{pmatrix},\quad f\left((\mathbf{v}'_1,\ldots,\mathbf{v}'_m)\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_m\end{pmatrix}\right)=:(\mathbf{w}'_1,\ldots,\mathbf{w}'_n)A'\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_m\end{pmatrix},$

$2$(\mathbf{v}'_1,\ldots,\mathbf{v}'_m):=(\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m)P,\quad (\mathbf{w}'_1,\ldots,\mathbf{w}'_n):=(\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n)Q,$

ということだから、あとは計算すれば

$2$(\mathbf{w}'_1,\ldots,\mathbf{w}'_n)A'\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_m\end{pmatrix}=f\left((\mathbf{v}'_1,\ldots,\mathbf{v}'_m)\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_m\end{pmatrix}\right)=f\left((\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m)P\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_m\end{pmatrix}\right)=(\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n)AP\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_m\end{pmatrix}=(\mathbf{w}'_1,\ldots,\mathbf{w}'_n)Q^{-1}AP\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_m\end{pmatrix}.$

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■39223 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 基底変換行列と表現行列との関係

▲▼■

□投稿者/ FUD 一般人(4回)-(2009/08/04(Tue) 11:37:45)

念のため別な言い方もしておきます（本質的には No.39219 で冒頭に書いたことと何も変わらない）。

> 私のA'=PAQ^-1はどこを間違っているのでしょうか?

まちがっているというよりは、縦と横がひっくり返っている（ $2$\mathbf{v}_i$ とか $2$\mathbf{w}_j$ とか $2$f(\mathbf{v}'_i)$ とかは縦ベクトルなのに No.39215 ではわざわざ転置をとって横にしている）所為で掛け算が逆順になっているだけだとおもいます。
掲示板特有の読みづらさも手伝って非常に読みにくいので、きちんと読めているのかわからないけど、あなたが $2$A,A',P,Q$ と書いているものをそれぞれ $2${}^t{}A,{}^t{}A',{}^t{}P,{}^t{}Q$ と書き直せば、No.39219 に記したような書籍等にある普通の記述と一致するはずです。

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■39250 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 基底変換行列と表現行列との関係

▲▼■

□投稿者/ test 一般人(2回)-(2009/08/07(Fri) 10:23:29)

遅くなりまして申し訳ありません。

> まちがっているというよりは、縦と横がひっくり返っている
> (v_iとかw_jとかf(v'_i)とかは縦ベクトルなのに
> No.39215 ではわざわざ転置をとって横にしている)

いえ,tという記号を使わずに書くとしたら下記のように書きたかったのです。

『A:=(a_ij)をfの{v_1,v_2,…,v_m}から{w_1,w_2,…,w_n}による表現行列,
A':=(a_ij)をfの{v'_1,v'_2,…,v'_m}から{w'_1,w'_2,…,w'_n}による表現行列とすると
夫々,f(v_i)=Σ_{i=1}^n (a_ij) w_j、f(v'_i)=Σ_{i=1}^n (a'_ij) w'_j (但し,i=1,2,…,m)
と書けますね。

この時,f(v'_i)=f(Σ_{i=1}^m p_ij v_i) (∵①) =Σ_{i=1}^m p_ij f(v_i) (∵fは線形写像)と書けるので

[[f(v'_1)]
[f(v'_2)] ・P
：
[f(v'_m))]]

=

[[(f(v_1)]
[f(v_2)]
：
[f(v_m))]] …② (但し,・は行列の掛算の意味)と書けて,

[[(f(v_1)]
[f(v_2)]
：
[f(v_m))]]

=

　[[w_1]
A・[w_2]
　　：
　[w_n]] …③,

[[f(v'_1)]
[f(v'_2)]
：
[f(v'_m)]]

=

　[[w'_1]
A'・[w'_2]
　　：
　[w'_n]] …④,

[[v'_1]
[v'_2]
：
[v'_m]]

=

[[v_1]
P・[v_2]
　：
　[v_m]] …⑤,

[[w'_1]
[w'_2]
：
[w'_n]]

=

　[[w_1]
Q・[w_2]
　　：
　[w_n]] …⑥

で従って③に②,⑥を代入して

　　　[[f(v'_1)]
P^-1・[f(v'_2)]
　　　　：
　　　[f(v'_m)]]

=

　　　[[w'_1]
AQ^-1・[[w'_2],
　　　　　：
　　　　[w'_n]]

となり

[[f(v'_1)]
[f(v'_2)]
　　：
[f(v'_m)]]

=

　　　　[[w'_1]
PAQ^-1 [w'_2]
　　　　：
　　　　[w'_n]]

これを④と見比べると
A'=PAQ^-1となるのですが書籍等には
A'=Q^-1APの順になっているのですが私のA'=PAQ^-1はどこを間違っているのでしょうか?』

一応,縦ベクトルで書いていたつもりなのですが。。。
どこを勘違いしてますでしょうか?

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■39253 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 基底変換行列と表現行列との関係

▲▼■

□投稿者/ FUD 一般人(7回)-(2009/08/07(Fri) 13:28:30)

2009/08/07(Fri) 16:55:44 編集(投稿者)

ですから、既に述べたとおりです。単に普通の書籍が $2${}^t{}A,\,{}^t{}A',\,{}^t{}P,\,{}^t{}Q$ と書くところのものをあなたは No.39215 で $2$A,\,A',\,P,\,Q$ と書いているだけのことで、No.39215 の議論自体は間違っていません。縦と横が入れ替わっているので可笑しな気分がしてくる程度のことです。

しかし No.39250 は完全にまずい。
> いえ,tという記号を使わずに書くとしたら下記のように書きたかったのです。
No.39223 を誤解なさったようですが、転置をとったことによって話がきちんと成立していたのであって、転置をとってはいけないと言ったわけではありません。それに、No.39250 はきちんと転置を外した形に書き直せていません。たとえば最初のほうで

$2$\begin{pmatrix}f(\mathbf{v}'_1)\\f(\mathbf{v}'_2)\\\vdots\\f(\mathbf{v}'_m)\end{pmatrix}$

は $2$mn\times 1$ -行列、つまりサイズが $2$mn$ の巨大な縦ベクトルであって、これと $2$P$ を掛けたりなどできない。実際には $2$(f(\mathbf{v}'_1),\,\ldots,\,f(\mathbf{v}'_m))$ は縦ベクトルを横に並べた行列という意味であり、転置をとれば

　 $2${}^t{}(f(\mathbf{v}'_1),\,\ldots,\,f(\mathbf{v}'_m))\,=\,\begin{pmatrix}{}^t{}f(\mathbf{v}'_1)\\\vdots\\{}^t{}f(\mathbf{v}'_m)\end{pmatrix}$

というふうに横ベクトルを縦に並べた行列という意味になるということを確認しておきましょう。

No.39219 をよく見て考えて[谷欠]しいのですが、あなたは行列を右から掛けるべき基底変換を左から掛ける座標変換であるかのように記述しようとしているので、縦と横、右と左が全部ひっくり返っているのです。 $2$f(\mathbf{v}_1)$ のようなものは本来は

　 $2$f\left((\mathbf{v}_1,\,\ldots,\,\mathbf{v}_m)\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}\right)=(\mathbf{w}_1,\,\ldots,\,\mathbf{w}_n)A\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}=(\mathbf{w}_1,\,\ldots,\,\mathbf{w}_n)\mathbf{a}_1$

というようなものを意味しているのであって、これらを通常どうのように排列すべきであるかどいうようなことは No.39219 を見ながら検討してみていただきたい。

# 意味不明な NG WORD を設定するのはやめて[谷欠]しい > 管理人

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■39258 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 基底変換行列と表現行列との関係

▲▼■

□投稿者/ test 一般人(3回)-(2009/08/08(Sat) 01:17:10)

お手数おかけしまして申し訳ありません。
大変ありがとうございます。

> [[f(v'_1)]
> [f(v'_2)]
> ：
> [f(v'_m))]]
> はmn×1-行列,つまりサイズがmnの巨大な縦ベクトルであって,

ちょ,ちょっと待ってください。
fは数ベクトル空間から数ベクトル空間への線形写像ではなく,
一般の線形空間VからWへの線形写像ですよね。
そしてf(v'_i)の定義はf(v'_i)=Σ_{j=1}^n a'_{ij} w'_jでこれは数ベクトルではなく(一般の)ベクトルですよね。

従って,

[[f(v'_1)]
[f(v'_2)]
：
[f(v'_m))]]

はm×1の縦ベクトルとなると思うのですが,,,
やはり勘違いしてますでしょうか?

># 意味不明な NG WORD を設定するのはやめて[谷欠]しい > 管理人

すいません。よく書き方が分からなかったもので。。

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■39259 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 基底変換行列と表現行列との関係

▲▼■

□投稿者/ FUD 一般人(8回)-(2009/08/08(Sat) 02:57:44)

■No39258に返信(testさんの記事)
> fは数ベクトル空間から数ベクトル空間への線形写像ではなく,
> 一般の線形空間VからWへの線形写像ですよね。
> そしてf(v'_i)の定義はf(v'_i)=Σ_{j=1}^n a'_{ij} w'_jでこれは数ベクトルではなく(一般の)ベクトルですよね。

はい、なにも数ベクトルの話をしているのではありません、しかしこの話に現れるベクトルは数ベクトルに限らず全て縦ベクトルです。実際、No.39253 にも書いたように $2$f(\mathbf{v}'_i)\,=\, (\mathbf{w}'_1,\,\ldots,\,\mathbf{w}'_n)\mathbf{a}'_i$ はちゃんと縦ベクトルになっています。

> [[f(v'_1)]
> [f(v'_2)]
> ：
> [f(v'_m))]]
>
> はm×1の縦ベクトルとなると思うのですが,,,
いいえ、ここに現れる各ベクトルのサイズは、基底が与えられているためきちんと確認できることに注意すべきです。サイズ $2$n$ の縦ベクトルを縦に $2$m$ 個並べたものは、サイズ $2$mn$ の縦ベクトルです。当スレッドでの説明がまだ納得いかないのであれば、抽象ベクトルについての説明を、適当な同型を経由して、数ベクトルについての説明に読み替えて検討を試みられては如何でしょう。

> ># 意味不明な NG WORD を設定するのはやめて[谷欠]しい > 管理人
> すいません。よく書き方が分からなかったもので。。
上記はあなたに向けたものではなく、管理人に向けてのものです([谷欠]を一文字の漢字にして谷欠しいと書いて送信しようとすれば刎ねられます)。それともあなたがこの掲示板のNGワード設定を行っておられるのですか？

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■39269 / inTopicNo.8)

　Re[6]: 基底変換行列と表現行列との関係

▲▼■

□投稿者/ test 一般人(4回)-(2009/08/09(Sun) 09:35:41)

ご回答大変ありがとうございます。

>> fは数ベクトル空間から数ベクトル空間への線形写像ではなく,
>> 一般の線形空間VからWへの線形写像ですよね。
>> そしてf(v'_i)の定義はf(v'_i)=Σ_{j=1}^n a'_{ij} w'_jでこれは数ベクトルではなく(一般の)ベクトルですよね。
> はい、なにも数ベクトルの話をしているのではありません、

すいません。いい間違えてました数ベクトルと言いたかったのではなく,
f(v'_i)=Σ_{j=1}^n a'_{ij} w'_jと書いた時,Σ_{j=1}^n a'_{ij} w'_j は1×1行列と同等ですよね。
Σ_{j=1}^n a'_{ij} w'_jはn×1行列(縦ベクトル)とは言えないのでしょうか?

> しかしこの話に現れるベクトルは数ベクトルに限らず全て縦ベクトルです。
> 実際、No.39253 にも書いたように
> f(v'_i)=(w'_1,w'_2,…,w'_n)a'_i はちゃんと縦ベクトルになっています。
>> [[f(v'_1)]
>> [f(v'_2)]
>> ：
>> [f(v'_m))]]
：
検討を試みられては如何でしょう。

ちょっと考えてみます。

> それともあなたがこの掲示板のNGワード設定を行っておられるのですか？

いえ。
すいません。私の投稿操作ミスかと思っておりました。

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■39272 / inTopicNo.9)

　Re[7]: 基底変換行列と表現行列との関係

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□投稿者/ FUD 一般人(10回)-(2009/08/09(Sun) 17:45:16)

■No39269に返信(testさんの記事)
> すいません。いい間違えてました数ベクトルと言いたかったのではなく,
> f(v'_i)=Σ_{j=1}^n a'_{ij} w'_jと書いた時,Σ_{j=1}^n a'_{ij} w'_j は1×1行列と同等ですよね。
> Σ_{j=1}^n a'_{ij} w'_jはn×1行列(縦ベクトル)とは言えないのでしょうか?

徹頭徹尾 $2$\mathbf{w}'_j$ は縦ベクトルだろう、その線型和が何故 $2$1\times 1$ なんて可笑しな話になるんだ、No.39259 でも繰り返し縦ベクトルだと言ってるのに同じことを何度も何度も（それともその線型和を $2$(\mathbf{w}'_1,\,\ldots,\,\mathbf{w}'_n)\mathbf{a}'_i$ のようた形に整理して書いただけで何もかも理解できなくなるのか？）。何をしたいのか知らんけど、あなたは他人の話を聞くつもりが無いということかね。そもそも説明すべきことは最初の No.39219 で十分に尽きているので、もうこれ以上は付き合わん。まだ何かあるのならほかのひとをあたってくれ。

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■39275 / inTopicNo.10)

　Re[8]: 基底変換行列と表現行列との関係

▲▼■

□投稿者/ test 一般人(5回)-(2009/08/11(Tue) 11:02:35)

お手数おかけします。

> 徹頭徹尾w'_jは縦ベクトルだろう、

ええ゛～!?
縦ベクトルって事はw'_iはn×1行列って事ですか?
Vは行列の空間だったのですか??

私はVやWは線形空間の公理を満たすのみの集合とばかり思っていましたが、、

なんでVの元はn×1行列なのですか?

> あなたは他人の話を聞くつもりが無いということかね。

出だしで疑問を持ちましたので質問したまでです。すいません。

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■39277 / inTopicNo.11)

　Re[9]: 基底変換行列と表現行列との関係

▲▼■

□投稿者/ kannar 一般人(1回)-(2009/08/12(Wed) 12:24:13)

2009/08/12(Wed) 14:56:35 編集(投稿者)

> 私はVやWは線形空間の公理を満たすのみの集合とばかり思っていましたが、、
>
それはそのとおりだが，「変換【行列】」という言葉を持ち出しているのはあなた。
基底の変換を行列の積で行おうとしているのだから，元は数ベクトル（あるいは数ベクトルと同一視したもの）でなくてはならない。
そうでなければ，どうやって行列との「積」を定義するのか，それを示さなければいけない。

> なんでVの元はn×1行列なのですか?

元がそう，ではなく，行列を基底変換に用いるためにそういう風に見るということ。

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