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基底変換行列と表現行列との関係
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□投稿者/ test 一般人(1回)-(2009/08/03(Mon) 03:05:21)
 | f:V→Wを線形写像,{v_1,v_2,…,v_m},{v'_1,v'_2,…,v'_m}をVの基底,{w_1,w_2,…,w_n},{w'_1,w'_2,…,w'_n}をWの基底,
そしてPとQを基底変換行列,つまり,v'_i=Σ_{j=1}^m p_ij v_j…①, w'_i=Σ_{j=1}^m q_ij w_j,
そして
A:=(a_ij)をfの{v_1,v_2,…,v_m}から{w_1,w_2,…,w_n}による表現行列,
A':=(a_ij)をfの{v'_1,v'_2,…,v'_m}から{w'_1,w'_2,…,w'_n}による表現行列とすると
夫々,f(v_i)=Σ_{i=1}^n (a_ij) w_j、f(v'_i)=Σ_{i=1}^n (a'_ij) w'_j (但し,i=1,2,…,m)
と書けますね。
この時,f(v'_i)=f(Σ_{i=1}^m p_ij v_i) (∵①) =Σ_{i=1}^m p_ij f(v_i) (∵fは線形写像)と書けるので
t(f(v'_1),f(v'_2),…,f(v'_m))=P t(f(v_1),f(v_2),…,f(v_m))…② (但し,tは転置行列の意味)と書けて
そして,
t(f(v_1),f(v_2),…,f(v_m))=A t(w_1,w_2,…,w_n)…③,
t(f(v'_1),f(v'_2),…,f(v'_m))=A' t(w'_1,w'_2,…,w'_n)…④,
t(v'_1,v'_2,…,v'_m)=P t(v_1,v_2,…,v_m)…⑤,
t(w'_1,w'_2,…,w'_mn=Q t(w_1,w_2,…,w_n)…⑥
で従って③に②,⑥を代入して
P^-1 t(f(v'_1),f(v'_2),…,f(v'_m))=AQ^-1 t(w'_1,w'_2,…,w'_n)となり
t(f(v'_1),f(v'_2),…,f(v'_m))=PAQ^-1 t(w'_1,w'_2,…,w'_n)
これを④と見比べると
A'=PAQ^-1となるのですが書籍等には
A'=Q^-1APの順になっているのですが私のA'=PAQ^-1はどこを間違っているのでしょうか?
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