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　Re[1]: 基底変換行列と表現行列との関係

□投稿者/ FUD 一般人(3回)-(2009/08/03(Mon) 15:09:19)

2009/08/04(Tue) 01:46:41 編集(投稿者)

互いに双対の関係にある基底変換と座標変換とをごちゃまぜにしてるのが悪いんじゃないの。

問題の設定は

$2$f\left((\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m)\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_m\end{pmatrix}\right)=:(\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n)A\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_m\end{pmatrix},\quad f\left((\mathbf{v}'_1,\ldots,\mathbf{v}'_m)\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_m\end{pmatrix}\right)=:(\mathbf{w}'_1,\ldots,\mathbf{w}'_n)A'\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_m\end{pmatrix},$

$2$(\mathbf{v}'_1,\ldots,\mathbf{v}'_m):=(\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m)P,\quad (\mathbf{w}'_1,\ldots,\mathbf{w}'_n):=(\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n)Q,$

ということだから、あとは計算すれば

$2$(\mathbf{w}'_1,\ldots,\mathbf{w}'_n)A'\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_m\end{pmatrix}=f\left((\mathbf{v}'_1,\ldots,\mathbf{v}'_m)\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_m\end{pmatrix}\right)=f\left((\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_m)P\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_m\end{pmatrix}\right)=(\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n)AP\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_m\end{pmatrix}=(\mathbf{w}'_1,\ldots,\mathbf{w}'_n)Q^{-1}AP\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_m\end{pmatrix}.$

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