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■36532 / inTopicNo.1) 　確率
  ▼■
□投稿者/ tomoko 一般人(8回)-(2008/10/27(Mon) 09:52:57)
    座標平面上に4点A(0,1),B(0,0),C(1,0),D(1,1)を頂点とする正方形を考え、この正方形の頂点上を点Qが1秒毎に1つの頂点から隣の頂点に移動しているとする。さらに、点Qはx軸と平行な方向の移動について確率p,y軸と平行な方向の移動について確率1-pで移動しているものとする。最初に点Qが頂点Aにいたとするとき、n秒後に頂点A,Cにいる確率をそれぞれa_n,c_nとする。a_{2n}を求めよ。
    という問題で、模範解答は
    a_{2n}={1+(4p^2-4p+1)^n}/2
    だったのですが、私は、a_{2n}=p^{2n}+(1-p)^{2n}+(2^{2n-1})p^n(1-p)^nとなりました。n=1,~n=2のときは確かに成立していると思うのですが・・・

    　ちなみに考え方はこうしました。

    　頂点Aからスタートし、再びAに戻るのは常に偶数回目である。
    　さらにCを通るときも常に偶数回目である。
    　そして、1つの頂点に着くごとに2通りの道がある。
    　そして頂点を通る回数は最初のAを含めて2n-1(回)。それが2通りごとにあるので
    　2nの時、Aにいるのは、2^{2n-1}通り。
    　さらに、2nの時、A→B, A→Dの繰り返しが必ずあるので、p^{2n}と(1-p)^{2n}は必ずある。そして、他はpと1-pを半々使う。
    　よって、残りは(2^{2n-1}-2)P^n(1-p)^nとなる。
    　ゆえに、a_{2n}=P^{2n}+(1-p)^{2n}+(2^{2n-1}-2)P^n(1-p)^n

    　どこの考え方は間違っているのか教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■36533 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 確率
□投稿者/ miyup 大御所(621回)-(2008/10/27(Mon) 12:37:05)
    2008/10/27(Mon) 14:17:20 編集(投稿者)

    ■No36532に返信(tomokoさんの記事)
    > 座標平面上に4点A(0,1),B(0,0),C(1,0),D(1,1)を頂点とする正方形を考え、この正方形の頂点上を点Qが1秒毎に1つの頂点から隣の頂点に移動しているとする。さらに、点Qはx軸と平行な方向の移動について確率p,y軸と平行な方向の移動について確率1-pで移動しているものとする。最初に点Qが頂点Aにいたとするとき、n秒後に頂点A,Cにいる確率をそれぞれa_n,c_nとする。a_{2n}を求めよ。
    > という問題で、模範解答は
    > a_{2n}={1+(4p^2-4p+1)^n}/2
    > だったのですが、私は、a_{2n}=p^{2n}+(1-p)^{2n}+(2^{2n-1})p^n(1-p)^nとなりました。n=1,~n=2のときは確かに成立していると思うのですが・・・

    a[2]＝p^2+(1-p)^2 なので、tomokoさんの解答はまちがっているようです。

    a[2],c[2],a[4],c[4],a[6],c[6]で考えてみてください。

    a[2]＝p^2+(1-p)^2＝a、　c[2]＝2p(1-p)＝c　とおいて
    a[4]＝a[2]・a + c[2]・c、c[4]＝a[2]・c + c[2]・a
    a[6]＝a[4]・a + c[4]・c、c[6]＝a[4]・c + c[4]・a
    …
    a[2n]＝a[2(n-1)]・a + c[2(n-1)]・c　…①
    c[2n]＝a[2(n-1)]・c + c[2(n-1)]・a　…②

    あとは連立してa[2n]を求めます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■36536 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 確率
□投稿者/ tomoko 一般人(9回)-(2008/10/27(Mon) 15:40:34)
    ■No36533に返信(miyupさんの記事)
    > 2008/10/27(Mon) 14:17:20 編集(投稿者)
    >
    > ■No36532に返信(tomokoさんの記事)
    >>座標平面上に4点A(0,1),B(0,0),C(1,0),D(1,1)を頂点とする正方形を考え、この正方形の頂点上を点Qが1秒毎に1つの頂点から隣の頂点に移動しているとする。さらに、点Qはx軸と平行な方向の移動について確率p,y軸と平行な方向の移動について確率1-pで移動しているものとする。最初に点Qが頂点Aにいたとするとき、n秒後に頂点A,Cにいる確率をそれぞれa_n,c_nとする。a_{2n}を求めよ。
    >>という問題で、模範解答は
    >> a_{2n}={1+(4p^2-4p+1)^n}/2
    >>だったのですが、私は、a_{2n}=p^{2n}+(1-p)^{2n}+(2^{2n-1})p^n(1-p)^nとなりました。n=1,~n=2のときは確かに成立していると思うのですが・・・
    >
    > a[2]＝p^2+(1-p)^2 なので、tomokoさんの解答はまちがっているようです。
    >
    > a[2],c[2],a[4],c[4],a[6],c[6]で考えてみてください。
    >
    > a[2]＝p^2+(1-p)^2＝a、　c[2]＝2p(1-p)＝c　とおいて
    > a[4]＝a[2]・a + c[2]・c、c[4]＝a[2]・c + c[2]・a
    > a[6]＝a[4]・a + c[4]・c、c[6]＝a[4]・c + c[4]・a
    > …
    > a[2n]＝a[2(n-1)]・a + c[2(n-1)]・c　…①
    > c[2n]＝a[2(n-1)]・c + c[2(n-1)]・a　…②
    >
    > あとは連立してa[2n]を求めます。

    ありがとうございました。
    実は先ほどの私の解答で入力ミスがありました。
    a_{2n}=p^{2n}+(1-p)^{2n}+(2^{2n-1})p^n(1-p)^n
    ではなくて
    a_{2n}=p^{2n}+(1-p)^{2n}+(2^{2n-2})p^n(1-p)^n
    でした。すみません。これだと成り立ってしまうような・・・
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■36539 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 確率
□投稿者/ miyup 大御所(622回)-(2008/10/27(Mon) 17:38:27)
    2008/10/27(Mon) 17:57:36 編集(投稿者)

    ■No36536に返信(tomokoさんの記事)
    > 実は先ほどの私の解答で入力ミスがありました。
    > a_{2n}=p^{2n}+(1-p)^{2n}+(2^{2n-1})p^n(1-p)^n
    > ではなくて
    > a_{2n}=p^{2n}+(1-p)^{2n}+(2^{2n-2})p^n(1-p)^n
    > でした。すみません。これだと成り立ってしまうような・・・

    成り立ちません。
    n＝1 のとき
    a[2]
    ＝p^2+(1-p)^2+(2^0)p(1-p)
    ＝p^2+(1-p)^2+p(1-p)
    ≠p^2+(1-p)^2

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■36540 / inTopicNo.5) 　Re[4]: 確率
□投稿者/ tomoko 一般人(10回)-(2008/10/27(Mon) 20:05:41)
    ■No36539に返信(miyupさんの記事)
    > 2008/10/27(Mon) 17:57:36 編集(投稿者)
    >
    > ■No36536に返信(tomokoさんの記事)
    >>実は先ほどの私の解答で入力ミスがありました。
    >>a_{2n}=p^{2n}+(1-p)^{2n}+(2^{2n-1})p^n(1-p)^n
    >>ではなくて
    >>a_{2n}=p^{2n}+(1-p)^{2n}+(2^{2n-2})p^n(1-p)^n
    >>でした。すみません。これだと成り立ってしまうような・・・
    >
    > 成り立ちません。
    > n＝1 のとき
    > a[2]
    > ＝p^2+(1-p)^2+(2^0)p(1-p)
    > ＝p^2+(1-p)^2+p(1-p)
    > ≠p^2+(1-p)^2

    大御所さん。いつもありがとうございます。本当にすみません。よく私の解答を見てみるとやはり、最初の解答でした。
    a_{2n}=P^{2n}+(1-p)^{2n}+(2^{2n-1}-2)P^n(1-p)^n
    と書きましたが、
    > この式ですと、n=1のとき、a_{2}=P^2+(1-p)^2となると思うのですが。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■36542 / inTopicNo.6) 　Re[5]: 確率
□投稿者/ miyup 大御所(623回)-(2008/10/27(Mon) 20:40:40)
    2008/10/27(Mon) 20:53:51 編集(投稿者)

    ■No36540に返信(tomokoさんの記事)
    > 大御所さん。いつもありがとうございます。本当にすみません。よく私の解答を見てみるとやはり、最初の解答でした。
    > a_{2n}=P^{2n}+(1-p)^{2n}+(2^{2n-1}-2)P^n(1-p)^n
    > と書きましたが、
    >>この式ですと、n=1のとき、a_{2}=P^2+(1-p)^2となると思うのですが。

    最初の解答（７行目）には a_{2n}=p^{2n}+(1-p)^{2n}+(2^{2n-1})p^n(1-p)^n とありますが。

    a_{2n}=P^{2n}+(1-p)^{2n}+(2^{2n-1}-2)P^n(1-p)^n は、n＝3 ではあわないようです。

    a[6]
    ＝p^6+(1-p)^6+30*p^3*(1-p)^3
    ＝-28*p^6+84*p^5-75*p^4+10*p^3+15*p^2-6*p+1

    正しい答え
    a[6]
    ＝(1+(4*p^2-4*p+1)^3)/2
    ＝32*p^6-96*p^5+120*p^4-80*p^3+30*p^2-6*p+1

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■36544 / inTopicNo.7) 　Re[6]: 確率
□投稿者/ tomoko 一般人(11回)-(2008/10/27(Mon) 21:01:11)
    ■No36542に返信(miyupさんの記事)
    > 2008/10/27(Mon) 20:53:51 編集(投稿者)
    >
    > ■No36540に返信(tomokoさんの記事)
    >>大御所さん。いつもありがとうございます。本当にすみません。よく私の解答を見てみるとやはり、最初の解答でした。
    >>a_{2n}=P^{2n}+(1-p)^{2n}+(2^{2n-1}-2)P^n(1-p)^n
    >>と書きましたが、
    > >>この式ですと、n=1のとき、a_{2}=P^2+(1-p)^2となると思うのですが。
    >
    > 最初の解答（７行目）には a_{2n}=p^{2n}+(1-p)^{2n}+(2^{2n-1})p^n(1-p)^n とありますが。
    >
    > a_{2n}=P^{2n}+(1-p)^{2n}+(2^{2n-1}-2)P^n(1-p)^n は、n＝3 ではあわないようです。
    >
    > a[6]
    > ＝p^6+(1-p)^6+30*p^3*(1-p)^3
    > ＝-28*p^6+84*p^5-75*p^4+10*p^3+15*p^2-6*p+1
    >
    > 正しい答え
    > a[6]
    > ＝(1+(4*p^2-4*p+1)^3)/2
    > ＝32*p^6-96*p^5+120*p^4-80*p^3+30*p^2-6*p+1

    ありがとうございました。少しすっきりしました。
    大御所さん、しつこくて申し訳ないのですが、一番最初の考え方のどこが勘違いしているのでしょうか。>
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■36545 / inTopicNo.8) 　Re[7]: 確率
□投稿者/ miyup 大御所(624回)-(2008/10/27(Mon) 22:28:40)
    2008/10/27(Mon) 22:33:40 編集(投稿者)

    ■No36544に返信(tomokoさんの記事)
    > 大御所さん、しつこくて申し訳ないのですが、一番最初の考え方のどこが勘違いしているのでしょうか。

    > さらに、2nの時、A→B, A→Dの繰り返しが必ずあるので、p^{2n}と(1-p)^{2n}は必ずある。そして、他はpと1-pを半々使う。
    > よって、残りは(2^{2n-1}-2)p^n(1-p)^nとなる。

    たしかに p と 1-p は「全体で」半々使っていますが、
    「p^n・(1-p)^n」 が 2^{2n-1}-2 個あるということではありません。

    p^a・(1-p)^b で a+b＝2n というだけです。

    p^(2n)・(1-p)^0、
    p^(2n-1)・(1-p)^1、
    p^(n-1)・(1-p)^(n+1)、
    p^(n+2)・(1-p)^(n-2)、
    etc...
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■36571 / inTopicNo.9) 　Re[8]: 確率
□投稿者/ tomoko 一般人(12回)-(2008/10/28(Tue) 19:44:57)
    ■No36545に返信(miyupさんの記事)
    > 2008/10/27(Mon) 22:33:40 編集(投稿者)
    >
    > ■No36544に返信(tomokoさんの記事)
    >>大御所さん、しつこくて申し訳ないのですが、一番最初の考え方のどこが勘違いしているのでしょうか。
    >
    >>さらに、2nの時、A→B, A→Dの繰り返しが必ずあるので、p^{2n}と(1-p)^{2n}は必ずある。そして、他はpと1-pを半々使う。
    >>よって、残りは(2^{2n-1}-2)p^n(1-p)^nとなる。
    >
    > たしかに p と 1-p は「全体で」半々使っていますが、
    > 「p^n・(1-p)^n」 が 2^{2n-1}-2 個あるということではありません。
    >
    > p^a・(1-p)^b で a+b＝2n というだけです。
    >
    > p^(2n)・(1-p)^0、
    > p^(2n-1)・(1-p)^1、
    > p^(n-1)・(1-p)^(n+1)、
    > p^(n+2)・(1-p)^(n-2)、
    > etc...

    本当にありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/


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