□投稿者/ tomoko 一般人(8回)-(2008/10/27(Mon) 09:52:57)
 | 座標平面上に4点A(0,1),B(0,0),C(1,0),D(1,1)を頂点とする正方形を考え、この正方形の頂点上を点Qが1秒毎に1つの頂点から隣の頂点に移動しているとする。さらに、点Qはx軸と平行な方向の移動について確率p,y軸と平行な方向の移動について確率1-pで移動しているものとする。最初に点Qが頂点Aにいたとするとき、n秒後に頂点A,Cにいる確率をそれぞれa_n,c_nとする。a_{2n}を求めよ。
という問題で、模範解答は
a_{2n}={1+(4p^2-4p+1)^n}/2
だったのですが、私は、a_{2n}=p^{2n}+(1-p)^{2n}+(2^{2n-1})p^n(1-p)^nとなりました。n=1,~n=2のときは確かに成立していると思うのですが・・・
ちなみに考え方はこうしました。
頂点Aからスタートし、再びAに戻るのは常に偶数回目である。
さらにCを通るときも常に偶数回目である。
そして、1つの頂点に着くごとに2通りの道がある。
そして頂点を通る回数は最初のAを含めて2n-1(回)。それが2通りごとにあるので
2nの時、Aにいるのは、2^{2n-1}通り。
さらに、2nの時、A→B, A→Dの繰り返しが必ずあるので、p^{2n}と(1-p)^{2n}は必ずある。そして、他はpと1-pを半々使う。
よって、残りは(2^{2n-1}-2)P^n(1-p)^nとなる。
ゆえに、a_{2n}=P^{2n}+(1-p)^{2n}+(2^{2n-1}-2)P^n(1-p)^n
どこの考え方は間違っているのか教えて下さい。
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