数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: 複素数 / Page: 0]

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■14315 / inTopicNo.1)

　複素数

□投稿者/ アドルフ一般人(1回)-(2006/07/04(Tue) 13:04:27)

z+(1/z)=1である複素数zに対して
z^n +{1/z^(n)}の値を求めよ。
ただし、nは正の整数とする。

この問題の答えが
n>0,m>0として
n=6mのとき2
n=6m-5,6m-1のとき1
n=6m-4,6m-2のとき-1
n=6m-3のとき-2
となっているんですが
これが訳が分かりません。
どのようにして答えにいたるのか、計算式を教えてもらいたいです。
できればくわしく答えに至る経緯を教えてほしいです。
おねがいします。

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■14373 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 複素数

▲▼■

□投稿者/ アドルフ一般人(5回)-(2006/07/06(Thu) 20:20:55)

どなたか教えていただけないでしょうか？
おねがいします。
問題文に間違いがあるのでしょうか・・？
だから答えてもらえないのかなーと。

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■14383 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 複素数

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(392回)-(2006/07/06(Thu) 21:25:45)

2006/07/06(Thu) 21:26:24 編集(投稿者)

■No14315に返信(アドルフさんの記事)
> z+(1/z)=1である複素数zに対して
> z^n +{1/z^(n)}の値を求めよ。
> ただし、nは正の整数とする。
>
>
> この問題の答えが
> n>0,m>0として
> n=6mのとき2
> n=6m-5,6m-1のとき1
> n=6m-4,6m-2のとき-1
> n=6m-3のとき-2
> となっているんですが
> これが訳が分かりません。
> どのようにして答えにいたるのか、計算式を教えてもらいたいです。
> できればくわしく答えに至る経緯を教えてほしいです。

$2$z+\frac{1}{z}=1$ より $2$z^2-z+1=0$ よって $2$z=\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}=\cos (\pm 60^{\circ})+i\sin (\pm 60^{\circ})$

このとき $2$z^n+\frac{1}{z^n}=z^n+z^{-n}=\cos (\pm 60^{\circ}n)+i\sin (\pm 60^{\circ}n)+\cos (\mp 60^{\circ}n)+i\sin (\mp 60^{\circ}n)=2\cos (60^{\circ}n)$

$2$n=1,2,3,4,5,6,7,\cdots$ と代入していけば、 $2$n=1$ と $2$n=7$ で同じ値になりますね。

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■14548 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 複素数

▲▼■

□投稿者/ アドルフ一般人(6回)-(2006/07/11(Tue) 12:50:07)

■No14383に返信(miyupさんの記事)
> 2006/07/06(Thu) 21:26:24 編集(投稿者)
>
> ■No14315に返信(アドルフさんの記事)
>>z+(1/z)=1である複素数zに対して
>>z^n +{1/z^(n)}の値を求めよ。
>>ただし、nは正の整数とする。
>>
>>
>>この問題の答えが
>>n>0,m>0として
>>n=6mのとき2
>>n=6m-5,6m-1のとき1
>>n=6m-4,6m-2のとき-1
>>n=6m-3のとき-2
>>となっているんですが
>>これが訳が分かりません。
>>どのようにして答えにいたるのか、計算式を教えてもらいたいです。
>>できればくわしく答えに至る経緯を教えてほしいです。
>
> $2$z+\frac{1}{z}=1$ より $2$z^2-z+1=0$ よって $2$z=\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}=\cos (\pm 60^{\circ})+i\sin (\pm 60^{\circ})$
>
> このとき $2$z^n+\frac{1}{z^n}=z^n+z^{-n}=\cos (\pm 60^{\circ}n)+i\sin (\pm 60^{\circ}n)+\cos (\mp 60^{\circ}n)+i\sin (\mp 60^{\circ}n)=2\cos (60^{\circ}n)$
>
> $2$n=1,2,3,4,5,6,7,\cdots$ と代入していけば、 $2$n=1$ と $2$n=7$ で同じ値になりますね。

ありがとうございました！
cos(60°n)+cos(60°n)=2cos(60°n)
ということでしょうか？

\cos(\pm 60^{\circ}n)+i\sin(\pm 60^{\circ}n)+\cos(\mp 60^{\circ}n)+i\sin(\mp 60^{\circ}n)

この式の場合
\cos(\p 60^{\circ}n)+i\sin(\p 60^{\circ}n)+\cos(\p 60^{\circ}n)+i\sin(\m 60^{\circ}n)
と
\cos(\p 60^{\circ}n)+i\sin(\m 60^{\circ}n)+\cos(\p 60^{\circ}n)+i\sin(\p 60^{\circ}n)
の二つの式があるので
そしてどちらの式も答えは2cos(60°n)なので
この2cos(60°n)を２倍したのが正しい答えのように感じるんですが
ここはどう考えたらいいんでしょうか？

あと、教科書ではnに１～７を代入する前に
突然ｍが登場して

n>0,m>0として
n=6mのとき2
n=6m-5,6m-1のとき1
n=6m-4,6m-2のとき-1
n=6m-3のとき-2

のようになるんですが
このｍはでてこなくてもいいんでしょうか？
このｍのぶぶんで一番悩んでいるので
ｍが出てきた場合の答えへいたる式を教えてもらえないでしょうか？

おねがいします！

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■14549 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 複素数

▲▼■

□投稿者/ アドルフ一般人(7回)-(2006/07/11(Tue) 12:54:46)

すみません。

\cos(\pm 60^{\circ}n)+i\sin(\pm 60^{\circ}n)+\cos(\mp 60^{\circ}n)+i\sin(\mp 60^{\circ}n)

この式の場合
\cos(\p 60^{\circ}n)+i\sin(\p 60^{\circ}n)+\cos(\p 60^{\circ}n)+i\sin(\m 60^{\circ}n)
と
\cos(\p 60^{\circ}n)+i\sin(\m 60^{\circ}n)+\cos(\p 60^{\circ}n)+i\sin(\p 60^{\circ}n)
の二つの式があるので

この部分、貼り付けしたら太文字になるんだと思ってましたがならなかったです。
書き直します。

cos(±60°n)+isin(±60°n)+cos(干60°n)+isin(干60°n)

この式の場合、
cos(60°n)+isin(-60°n)+cos(60°n)+isin(60°n)
と
cos(60°n)+isin(60°n)+cos(60°n)+isin(-60°n)
の二つを表していると思うんですが

に訂正おねがいします。m--m

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■14552 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 複素数

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(421回)-(2006/07/11(Tue) 13:56:32)

2006/07/11(Tue) 14:00:09 編集(投稿者)
2006/07/11(Tue) 13:57:50 編集(投稿者)

<pre><pre>■No14548に返信(アドルフさんの記事)
> ありがとうございました！
> cos(60°n)+cos(60°n)=2cos(60°n)
> ということでしょうか？

そうです。

> $2$\cos (\pm 60^{\circ}n)+i\sin (\pm 60^{\circ}n)+\cos (\mp 60^{\circ}n)+i\sin (\mp 60^{\circ}n)$
>
> この式の場合
> $2$\cos (+60^{\circ}n)+i\sin (+60^{\circ}n)+\cos (-60^{\circ}n)+i\sin (-60^{\circ}n)$
> と
> $2$\cos (-60^{\circ}n)+i\sin (-60^{\circ}n)+\cos (+60^{\circ}n)+i\sin (+60^{\circ}n)$
> の二つの式があるので

ここは別々の式が２本あって、それをまとめて書いているだけなので、2cos(60°n)が答えです。

> あと、教科書ではnに１～７を代入する前に
> 突然ｍが登場して

n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,…で

1 7 13 19 → 6m-5
2 8 14 20 → 6m-4
3 9 15 21 → 6m-3
4 10 16 22 → 6m-2
5 11 17 23 → 6m-1
6 12 18 24 → 6m　　と、mで表現しています。
</pre></pre>

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■14559 / inTopicNo.7)

　Re[4]: 複素数

▲▼■

□投稿者/ 名無し一般人(5回)-(2006/07/11(Tue) 16:43:22)

2006/07/11(Tue) 16:47:41 編集(投稿者)

■No14549に返信(アドルフさんの記事)
> \cos(\pm 60^{\circ}n)+i\sin(\pm 60^{\circ}n)+\cos(\mp 60^{\circ}n)+i\sin(\mp 60^{\circ}n)
>
> この式の場合
> \cos(\p 60^{\circ}n)+i\sin(\p 60^{\circ}n)+\cos(\p 60^{\circ}n)+i\sin(\m 60^{\circ}n)
> と
> \cos(\p 60^{\circ}n)+i\sin(\m 60^{\circ}n)+\cos(\p 60^{\circ}n)+i\sin(\p 60^{\circ}n)
> の二つの式があるので
>
> この部分、貼り付けしたら太文字になるんだと思ってましたがならなかったです。

太字ではなくて mimetex による画像化です. 書式は TeX と呼ばれるソフトウェアによるもので, ページの上部に
> ■TEX入力ができます。 \[ TEX形式数式 \]　あるいは，$ TEX形式数式 $　で数式を記述します。
>　TEX形式数式には半角英数字のみです。詳しくは、ここを見てください。
と書かれています. なお, プレインテキストでは TeX と書くことに決まっており, TEX や Tex は誤りということになっています. 改善お願いします > 管理人様

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■14565 / inTopicNo.8)

　Re[5]: 複素数

▲▼■

□投稿者/ 管理人一般人(7回)-(2006/07/11(Tue) 19:06:59)

2006/07/11(Tue) 22:05:59 編集(管理者)
2006/07/11(Tue) 22:05:51 編集(管理者)

■No14559に返信(名無しさんの記事)
> と書かれています. なお, プレインテキストでは TeX と書くことに決まっており, TEX や Tex は誤りということになっています. 改善お願いします > 管理人様

ご指摘ありがとうございます。さっそく訂正しました。
今後ともよろしくお願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■14582 / inTopicNo.9)

　Re[4]: 複素数

▲▼■

□投稿者/ アドルフ一般人(9回)-(2006/07/12(Wed) 07:21:32)

ありがとうございました。

■No14552に返信(miyupさんの記事)
> 2006/07/11(Tue) 14:00:09 編集(投稿者)
> 2006/07/11(Tue) 13:57:50 編集(投稿者)
>
> <pre><pre>■No14548に返信(アドルフさんの記事)
>>ありがとうございました！
>>cos(60°n)+cos(60°n)=2cos(60°n)
>>ということでしょうか？
>
> そうです。
>
>> $2$\cos (\pm 60^{\circ}n)+i\sin (\pm 60^{\circ}n)+\cos (\mp 60^{\circ}n)+i\sin (\mp 60^{\circ}n)$
>>
>>この式の場合
>> $2$\cos (+60^{\circ}n)+i\sin (+60^{\circ}n)+\cos (-60^{\circ}n)+i\sin (-60^{\circ}n)$
>>と
>> $2$\cos (-60^{\circ}n)+i\sin (-60^{\circ}n)+\cos (+60^{\circ}n)+i\sin (+60^{\circ}n)$
>>の二つの式があるので
>
> ここは別々の式が２本あって、それをまとめて書いているだけなので、2cos(60°n)が答えです。

一つの式をを足すと2cos(60°n)
もう一つの式の答えも2cos(60°n)ですよね？
足したら4cos(60°n)になるんじゃないでしょうか？
それともどちらも同じ答えだから
cos(±60°n)+isin(±60°n)+cos(干60°n)+isin(干60°n)
は2cos(60°n)になるんでしょうか？
違う答えならば、答えは二つ書くということでしょうか？

>
>>あと、教科書ではnに１～７を代入する前に
>>突然ｍが登場して
>
> n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,…で
>
> 1 7 13 19 → 6m-5
> 2 8 14 20 → 6m-4
> 3 9 15 21 → 6m-3
> 4 10 16 22 → 6m-2
> 5 11 17 23 → 6m-1
> 6 12 18 24 → 6m　　と、mで表現しています。
> </pre></pre>

教科書の答えは
n>0,m>0として
n=6mのとき2
n=6m-5,6m-1のとき1
n=6m-4,6m-2のとき-1
n=6m-3のとき-2

なんですが
mにどうして6をかけているんでしょうか？
n=1の場合～答えは1
n=2の場合～答えは-1
n=3の場合～答えは-2
n=4の場合～答えは-1
n=5の場合～答えは1
n=6の場合～答えは2

ではいけないんでしょうか？
でもこれだとかなりmを使った場合より時間がかかりますね。
試験のときにmをひらめいて使いたいので
n=6m
n=6m±1
n=6m±2
n=6m±3
のように使いこなしたいんですが
どうして6mが中心となるんでしょうか？
ここがいまいち分かりません。

おねがいします。
教えてください。

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■14583 / inTopicNo.10)

　Re[5]: 複素数

▲▼■

□投稿者/ アドルフ一般人(10回)-(2006/07/12(Wed) 07:27:39)

あーと、mは階差数列から読み取るんですか。
ってことはmを使っても普通に計算しても
時間がかかりそうですね。（試験で焦ってるとき）

でも
n=6m
n=6m±1
n=6m±2
n=6m±3
のように±で同じ答えが出る、というのがひらめきそうにありません。。
n=6m±4
まで地道に計算するんでしょうか？　同じ答えか違う答えかを調べるために。
それだと普通に計算したほうが早いような気がするんですが。。

解答としては
どちらを選んでもいいんでしょうか？

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■14585 / inTopicNo.11)

　Re[5]: 複素数

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(425回)-(2006/07/12(Wed) 08:57:36)

■No14582に返信(アドルフさんの記事)
> 一つの式をを足すと2cos(60°n)
> もう一つの式の答えも2cos(60°n)ですよね？
> 足したら4cos(60°n)になるんじゃないでしょうか？

２本の独立した式の解答を、なぜ足すのでしょうか？

> それともどちらも同じ答えだから
> cos(±60°n)+isin(±60°n)+cos(干60°n)+isin(干60°n)
> は2cos(60°n)になるんでしょうか？
> 違う答えならば、答えは二つ書くということでしょうか？

そうです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■14586 / inTopicNo.12)

　Re[6]: 複素数

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(426回)-(2006/07/12(Wed) 09:09:21)

■No14583に返信(アドルフさんの記事)
> あーと、mは階差数列から読み取るんですか。

nは等差数列です。nの第m項は、n=初項+(m-1)×公差で表されます。

n=1,2,3,4,5,6 の場合だけ計算をして(n=7以降は繰り返しであることを確認して)

あとはまとめる形で

(n>0,m>0として)
　n=6mのとき2
　n=6m-5のとき1
　n=6m-4のとき-1
　n=6m-3のとき-2
　n=6m-2のとき-1
　n=6m-1のとき1

と書けばよいです。同じ値のものを無理にまとめる必要はありません。

> n=6m
> n=6m±1
> n=6m±2
> n=6m±3
> のように±で同じ答えが出る、というのがひらめきそうにありません。。

±で表すのは、等差数列の考え方からは不自然です。
先に述べましたが、無理にまとめる必要はありません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■14661 / inTopicNo.13)

　Re[6]: 複素数

▲▼■

□投稿者/ アドルフ一般人(11回)-(2006/07/14(Fri) 17:41:07)

なるほど！
ありがとうございました！
長い間面倒見てくれてほんとにありがとうございました！

解決済み!

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■14809 / inTopicNo.14)

　Re[7]: 複素数

▲▼■

□投稿者/ kabusaka 一般人(1回)-(2006/07/18(Tue) 17:38:40)

すみませんがどなたか
「Zのｎ乗=１の解を考えてください。次にｎを次第に大きくしていった場合のZの様子をガウス平面上に記してください。」
という問題をやってもらえますか？
ｒのｎ乗・cos（ｎθ）=１
ｒのｎ乗・sin（ｎθ）=０
ということまでは分かったのですが、その後どう導けばいいのか・・・。
誰かよろしくお願いします！

引用返信/返信 [メール受信/ON] 削除キー/

■14811 / inTopicNo.15)

　Re[8]: 複素数

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(440回)-(2006/07/18(Tue) 18:37:52)

新しい問題なので、新規にスレッドを立てましょう。

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