数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 絶対値を含む不等式 / Page: 0]

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■11120 / inTopicNo.1)

　絶対値を含む不等式

□投稿者/ 教えてください。。一般人(1回)-(2006/04/17(Mon) 06:49:56)

次の不等式を解け。
　　3｜1-x｜≦2
という問題があります。僕はこの問題を場合分けして、
(ⅰ) 1－x　> 0 　∴x < 1　のとき
　　　3(1-x)≦ 2
　　　x ≧ 1/3
(ⅱ) 1-x > 0 ∴x > 1　のとき
　　　　 -3(1-x)≦ 2
x ≧ 5/3
(ⅰ)(ⅱ)の共通範囲を求めて、　答 1/3≦x<1, 1<x≦5/3

と考えました。しかし解答例では

｜1-x｜=｜-(x-1)｜=｜x-1｜
ゆえに、不等式は｜x-1｜≦2/3 よって-2/3≦x-1≦2/3
各辺に1を加えて　答 1/3≦x≦5/3

となっていました。実際には、1は含まれるんですか？？教えてください、お願いします。。

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■11121 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 絶対値を含む不等式

▲▼■

□投稿者/ せら。一般人(1回)-(2006/04/17(Mon) 08:57:28)

■No11120に返信(教えてください。。さんの記事)
> 次の不等式を解け。
> 　　3｜1-x｜≦2
> という問題があります。僕はこの問題を場合分けして、
> (i) 1－x　> 0 　∴x < 1　のとき
> 　　　3(1-x)≦ 2
> 　　　x ≧ 1/3
> (ii) 1-x > 0 ∴x > 1　のとき
> 　　　　 -3(1-x)≦ 2
> x ≧ 5/3
> (i)(ii)の共通範囲を求めて、　答 1/3≦x<1, 1<x≦5/3
>
> と考えました。

絶対値なので場合分けする，という方針はいいのですが，場合分けの段階で
(i)ｘ＜１(ii)ｘ＞１
となっているということは，x＝1のときを考慮していない（すべての実数xについて考えていない）ので，解答として不十分です。
この場合分けでいくなら，きちんと
(iii)ｘ＝１のとき，（左辺）＝３｜１－１｜＝０より，不等式は成立する。
ことを確認する必要がありますね。

> しかし解答例では
>
> ｜1-x｜=｜-(x-1)｜=｜x-1｜
> ゆえに、不等式は｜x-1｜≦2/3 よって-2/3≦x-1≦2/3
> 各辺に1を加えて　答 1/3≦x≦5/3
>
> となっていました。実際には、1は含まれるんですか？？教えてください、お願いします。。

上で見た通り，ｘ＝１を代入すれば明らかに不等式が満たされますね。

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■11126 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 絶対値を含む不等式

▲▼■

□投稿者/ 平木慎一郎付き人(94回)-(2006/04/17(Mon) 19:25:29)

■No11121に返信(せら。さんの記事)
> ■No11120に返信(教えてください。。さんの記事)
>>次の不等式を解け。
>>　　3｜1-x｜≦2
>>という問題があります。僕はこの問題を場合分けして、
>> (i) 1－x　> 0 　∴x < 1　のとき
>> 　　　3(1-x)≦ 2
>> 　　　x ≧ 1/3
>> (ii) 1-x > 0 ∴x > 1　のとき
>>　　　　 -3(1-x)≦ 2
>> x ≧ 5/3
>>(i)(ii)の共通範囲を求めて、　答 1/3≦x<1, 1<x≦5/3
>>
>>と考えました。
>
> 絶対値なので場合分けする，という方針はいいのですが，場合分けの段階で
> (i)ｘ＜１(ii)ｘ＞１
> となっているということは，x＝1のときを考慮していない（すべての実数xについて考えていない）ので，解答として不十分です。
> この場合分けでいくなら，きちんと
> (iii)ｘ＝１のとき，（左辺）＝３｜１－１｜＝０より，不等式は成立する。
> ことを確認する必要がありますね。
>
>>しかし解答例では
>>
>>｜1-x｜=｜-(x-1)｜=｜x-1｜
>>ゆえに、不等式は｜x-1｜≦2/3 よって-2/3≦x-1≦2/3
>>各辺に1を加えて　答 1/3≦x≦5/3
>>
>>となっていました。実際には、1は含まれるんですか？？教えてください、お願いします。。
>
> 上で見た通り，ｘ＝１を代入すれば明らかに不等式が満たされますね。
横から失礼します。
参考ですが、グラフを書いてみてそれを利用して解くほうが間違いが少ないですよ。 $2$y=|1-x|,y=\frac{{2}}{{3}}$ の2つのグラフを書いて交点を確認し、
≦である範囲を求めます。

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■11144 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 絶対値を含む不等式

▲▼■

□投稿者/ せら。一般人(2回)-(2006/04/18(Tue) 16:15:13)

■No11126に返信(平木慎一郎さんの記事)
>>■No11120に返信(教えてください。。さんの記事)
> >>次の不等式を解け。
> >>　　3｜1-x｜≦2
> 横から失礼します。
> 参考ですが、グラフを書いてみてそれを利用して解くほうが間違いが少ないですよ。 $2$y=|1-x|,y=\frac{{2}}{{3}}$ の2つのグラフを書いて交点を確認し、
> ≦である範囲を求めます。

個人的な意見を述べます。

１）絶対値の扱いになれていないうちは，グラフを書くときに結局絶対値について場合わけすることになるので，手間としては質問者の方針とあまり変わらない（わざわざ図示する分手間が増えるかも）

２）「きちんとグラフが書ければ」ミスはおこらないが，きちんとグラフが書け，きちんとグラフの交点が求められるようになるにはそれなりの修練が必要である（そもそも，不等式をグラフに反映させる考え方自体が実は難しい）

３）質問者がきちんと方針立てて途中まで解けているのだからそれを邪魔する必要性はないし，理解前の別解は混乱の元にしかならない

以上の理由から，あえて「一般的な」（あるいは「参考書でよく見る」）解法（グラフの利用）は避け，質問者の考えを尊重したわけなのですが，これらについてはどうお考えでしょうか？

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■11148 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 絶対値を含む不等式

▲▼■

□投稿者/ 平木慎一郎付き人(98回)-(2006/04/18(Tue) 17:48:47)

■No11144に返信(せら。さんの記事)
> ■No11126に返信(平木慎一郎さんの記事)
> >>■No11120に返信(教えてください。。さんの記事)
>>>>次の不等式を解け。
>>>>　　3｜1-x｜≦2
>>横から失礼します。
>>参考ですが、グラフを書いてみてそれを利用して解くほうが間違いが少ないですよ。 $2$y=|1-x|,y=\frac{{2}}{{3}}$ の2つのグラフを書いて交点を確認し、
>>≦である範囲を求めます。
>
> 個人的な意見を述べます。
>
> １）絶対値の扱いになれていないうちは，グラフを書くときに結局絶対値について場合わけすることになるので，手間としては質問者の方針とあまり変わらない（わざわざ図示する分手間が増えるかも）
>
> ２）「きちんとグラフが書ければ」ミスはおこらないが，きちんとグラフが書け，きちんとグラフの交点が求められるようになるにはそれなりの修練が必要である（そもそも，不等式をグラフに反映させる考え方自体が実は難しい）
>
> ３）質問者がきちんと方針立てて途中まで解けているのだからそれを邪魔する必要性はないし，理解前の別解は混乱の元にしかならない
>
> 以上の理由から，あえて「一般的な」（あるいは「参考書でよく見る」）解法（グラフの利用）は避け，質問者の考えを尊重したわけなのですが，これらについてはどうお考えでしょうか？
あくまで参考かつ今回は簡単な不等式であったのでこのように投稿させていただきました。

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■11196 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 絶対値を含む不等式

▲▼■

□投稿者/ 教えてください。。一般人(2回)-(2006/04/21(Fri) 07:35:40)

なるほど、理解できました。
ありがとうございます！！！

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