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■47692
/ 親記事)
A×Bがσ集合体だがAかBかがσ集合体ではない例とは?
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□投稿者/ ちゃぼ
一般人(1回)-(2016/06/13(Mon) 04:14:34)
2016/06/13(Mon) 04:37:35 編集(投稿者)
A,Bとも零集合ではないとします。
直積集合A×Bが2次元ルベーグσ集合体L(R^2)の元
⇒
AとBともL(R)の元。
の反例を探してます。どなたか教えてください。
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■47693
/ ResNo.1)
Re[1]: A×Bがσ集合体だがAかBかがσ集合体ではない例とは?
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□投稿者/ 通りすがり
一般人(1回)-(2016/06/14(Tue) 05:56:27)
Aを非可測集合、Bを一点とかじゃだめですか?
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■47695
/ ResNo.2)
Re[2]: A×Bがσ集合体だがAかBかがσ集合体ではない例とは?
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□投稿者/ ちゃぼ
一般人(2回)-(2016/06/15(Wed) 10:03:27)
この場合のBは零集合ではないのでしょうか?
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■47698
/ ResNo.3)
Re[3]: A×Bがσ集合体だがAかBかがσ集合体ではない例とは?
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□投稿者/ 通りすがり
一般人(2回)-(2016/06/16(Thu) 21:51:53)
問題文見落としてました。すみません。
AxBの定義関数をf(x,y)とすると、仮定よりfは直積空間で可測。
fについてFubiniの定理を使うと、
f(・,y)はほとんどいたるところのy∈Bについて可測となって、
Bは零集合ではないから、f(・,y)が可測となるyがある。
そして、f(・,y)はAの定義関数であるから、Aは可測。
というわけで、反例はないような気がするのですが。
どうでしょうか?
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■47699
/ ResNo.4)
Re[4]: A×Bがσ集合体だがAかBかがσ集合体ではない例とは?
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□投稿者/ ちゃぼ
一般人(3回)-(2016/06/17(Fri) 00:49:47)
A,Bとも零集合ではないなら
直積集合A×Bが2次元ルベーグσ集合体L(R^2)の元
⇔
AとBともL(R)の元。
となるのですね。どうも有難うございます。
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■No47699に返信(ちゃぼさんの記事) > A,Bとも零集合ではないなら > > 直積集合A×Bが2次元ルベーグσ集合体L(R^2)の元 > ⇔ > AとBともL(R)の元。 > > となるのですね。どうも有難うございます。
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