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Nomal A×Bがσ集合体だがAかBかがσ集合体では.. /ちゃぼ (16/06/13(Mon) 04:14) #47692
Nomal Re[1]: A×Bがσ集合体だがAかBかがσ集.. /通りすがり (16/06/14(Tue) 05:56) #47693
  └Nomal Re[2]: A×Bがσ集合体だがAかBかがσ集.. /ちゃぼ (16/06/15(Wed) 10:03) #47695
    └Nomal Re[3]: A×Bがσ集合体だがAかBかがσ集.. /通りすがり (16/06/16(Thu) 21:51) #47698
      └Nomal Re[4]: A×Bがσ集合体だがAかBかがσ集.. /ちゃぼ (16/06/17(Fri) 00:49) #47699


親記事 / ▼[ 47693 ]
■47692 / 親階層)  A×Bがσ集合体だがAかBかがσ集合体ではない例とは?
□投稿者/ ちゃぼ 一般人(1回)-(2016/06/13(Mon) 04:14:34)
    2016/06/13(Mon) 04:37:35 編集(投稿者)

    A,Bとも零集合ではないとします。

    直積集合A×Bが2次元ルベーグσ集合体L(R^2)の元

    AとBともL(R)の元。

    の反例を探してます。どなたか教えてください。

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▲[ 47692 ] / ▼[ 47695 ]
■47693 / 1階層)  Re[1]: A×Bがσ集合体だがAかBかがσ集合体ではない例とは?
□投稿者/ 通りすがり 一般人(1回)-(2016/06/14(Tue) 05:56:27)
    Aを非可測集合、Bを一点とかじゃだめですか?
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▲[ 47693 ] / ▼[ 47698 ]
■47695 / 2階層)  Re[2]: A×Bがσ集合体だがAかBかがσ集合体ではない例とは?
□投稿者/ ちゃぼ 一般人(2回)-(2016/06/15(Wed) 10:03:27)
    この場合のBは零集合ではないのでしょうか?
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■47698 / 3階層)  Re[3]: A×Bがσ集合体だがAかBかがσ集合体ではない例とは?
□投稿者/ 通りすがり 一般人(2回)-(2016/06/16(Thu) 21:51:53)
    問題文見落としてました。すみません。

    AxBの定義関数をf(x,y)とすると、仮定よりfは直積空間で可測。

    fについてFubiniの定理を使うと、
    f(・,y)はほとんどいたるところのy∈Bについて可測となって、
    Bは零集合ではないから、f(・,y)が可測となるyがある。

    そして、f(・,y)はAの定義関数であるから、Aは可測。

    というわけで、反例はないような気がするのですが。

    どうでしょうか?
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▲[ 47698 ] / 返信無し
■47699 / 4階層)  Re[4]: A×Bがσ集合体だがAかBかがσ集合体ではない例とは?
□投稿者/ ちゃぼ 一般人(3回)-(2016/06/17(Fri) 00:49:47)
    A,Bとも零集合ではないなら

    直積集合A×Bが2次元ルベーグσ集合体L(R^2)の元

    AとBともL(R)の元。

    となるのですね。どうも有難うございます。
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