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■52462 / 1階層) 　複素数平面
□投稿者/ muturajcp 一般人(1回)-(2024/02/05(Mon) 22:14:11)
    w=z^(-1)
    (A)
    z=x+ai
    a≠0とする
    w=(x+ai)^(-1)=(x-ai)/(x^2+a^2)
    wの共役複素数をw~とすると
    w~=(x+ai)/(x^2+a^2)
    ww~=1/(x^2+a^2)
    w-w~=-2ai/(x^2+a^2)=-2aiww~
    w-w~=-2aiww~
    ↓両辺に2aiww~を加えると
    2aiww~+w-w~=0
    ↓a≠0両辺に-i/(2a)をかけると
    ww~-wi/(2a)+w~i/(2a)=0
    ↓両辺に1/(4a^2)を加えると
    {w+i/(2a)}{w~-i/(2a)}=1/(4a^2)
    {w+i/(2a)}{w-i/(2a)}~=1/(4a^2)
    |w+i/(2a)|^2=1/(4a^2)
    ↓両辺を1/2乗すると
    |w+i/(2a)|=1/(2a)

    中心-i/(2a)半径1/(2a)の円

    (B)
    z=a+yi
    a≠0とする
    w=(a+yi)^(-1)=(a-yi)/(a^2+y^2)
    w~=(a+yi)/(a^2+y^2)
    ww~=1/(a^2+y^2)
    w+w~=2a/(a^2+y^2)=2aww~
    2aww~=w+w~
    ↓両辺に-w-w~を加えると
    2aww~-w-w~=0
    ↓a≠0両辺に1/(2a)をかけると
    ww~-w/(2a)-w~/(2a)=0
    ↓両辺に1/(4a^2)を加えると
    {w-1/(2a)}{w~-1/(2a)}=1/(4a)^2
    {w-1/(2a)}{w-1/(2a)}~=1/(4a)^2
    |w-1/(2a)|^2=1/(4a)^2
    ↓両辺を1/2乗すると
    |w-1/(2a)|=1/(2a)

    中心1/(2a)半径1/(2a)の円
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