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■52439 / 1階層) 　無理関数の積分(大学)
□投稿者/ X 一般人(7回)-(2024/01/07(Sun) 10:24:06)
    横から失礼します。

    別解)
    x^2+x+4=(x+1/2)^2+15/4
    ここで
    (2/√15)(x+1/2)=sinht
    と置くと
    (与式)=∫[-arcsinh(1/√15)→arcsinh(1/√15)][{{(1/2)(√15)sinht-1/2}^2}/cosht]coshtdt
    =(15/4)∫[-arcsinh(1/√15)→arcsinh(1/√15)](sinht-1/√15)^2dt
    =(15/4)∫[-arcsinh(1/√15)→arcsinh(1/√15)]{(sinht)^2-(2/√15)sinht+1/15}dt
    =(15/2)∫[0→arcsinh(1/√15)]{(sinht)^2+1/15}dt
    =(15/2)∫[0→arcsinh(1/√15)]{(1/2)(cosh2t)-1/2+1/15}dt
    =(15/2)∫[0→arcsinh(1/√15)]{(1/2)(cosh2t)-13/30}dt
    =(15/2){(1/4)sinh{2arcsinh(1/√15)}-(13/30)arcsinh(1/√15)}
    =(15/8)sinh{2arcsinh(1/√15)}-(13/4)arcsinh(1/√15)
    ここで
    sinh{2arcsinh(1/√15)}=2sinhucoshu (u=arcsinh(1/√15)と置いた)
    =2(1/√15)√{(1/√15)^2+1}
    =8/15
    ∴(与式)=1-(13/4)arcsinh(1/√15)
    (見かけは異なりますが、WIZさんの値と同じです。)
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