数学ナビゲーター掲示板 [One Message View / Re[1]: 多項式の整除]

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■52422 / 1階層)

　多項式の整除

□投稿者/ WIZ 一般人(14回)-(2023/12/30(Sat) 17:08:32)

代数学の基本定理により、nを自然数、a[1]～a[n]を複素数として、
P(x) = Π[k=1, n](x-a[k])
と書ける。
P(x)が整数係数だから、a[1]～a[n]の中に虚数があれば、その共役数もa[1]～a[n]の中に含まれている。
# P(x)が整数係数モニックだから、a[1]～a[n]は代数的整数であり、
# ノルムとシュプール(トレース)は有理数の整数である。

すると、
F(x) = Π[k=1, n](x-f(a[k]))
とすれば、P(x) = 0の解は重複度も含めて全てF(f(x)) = 0の解であるので、
F(f(x)) = Π[k=1, n](f(x)-f(a[k]))はP(x)で割り切れる。

a[i]とa[j]が複素共役なら、f(x)が整数係数なのでf(a[i])とf(a[j])も複素共役となる。
よって、F(x)は整数係数モニックであり、F(f(x))はモニックとは限らないが整数係数である。

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