□投稿者/ at 一般人(1回)-(2023/09/03(Sun) 10:10:53)
 | a_{k-1}<a_k となるような最初のkをXとすると、Xの期待値E(X)は、
E(X)
=Σ[j=1〜∞]j*P(X=j)
=Σ[j=1〜∞]([h=1〜j]1)*P(X=j)
=Σ[h=1〜∞][j=h〜∞]P(X=j)
=Σ[h=1〜∞]P(X≧h)
=Σ[h=0〜∞]P(X>h)
=Σ[h=0〜∞]C[n+h,h]*(1/(n+1))^h
=((n+1)^n)*Σ[h=0〜∞]C[n+h,n]*(1/(n+1))^(n+h)
=((n+1)^n)*((1/(n+1))^n)/(1-(1/(n+1)))^(n+1)
=((n+1)/n)^(n+1).
a_{k-1}<a_k となるような最初のa_kをYとすると、Yの期待値E(Y)は、
E(Y)
=Σ[j=1〜n]j*P(Y=j)
=Σ[j=1〜n]j*Σ[s=2〜∞](C[n+s-1,s-1]-C[n-j+s-1,s-1])/(n+1)^s
=(((n+1)^n)/(n^(n+1)))*Σ[j=1〜n]j*(1-(n/(n+1))^j)
=n+(n+1)*(1-(1/2)*((n+1)/n)^n).
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