数学ナビゲーター掲示板 [One Message View / Re[1]: 数列の極限]

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　数列の極限

□投稿者/ マシュマロ一般人(16回)-(2022/06/20(Mon) 09:13:07)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A

こんにちは＾＾

この問題については、次のようなステップで解けそうですね。

①　十分大きなｎに対してa［ｎ］≦ｎ＾２となることを示す。

②　十分大きなｎに対してa［ｎ］＝ｋｎ－ｎ＾２（ｋ：定数）となることを示す。

③　よって極限値は－１になる。

①は、a［ｎ］＞ｎ＾となる間は条件式からa［ｎ＋１］＝a［ｎ］となることと、一旦ｎ＾２以下になったらその後もそうであることを帰納法で示せば導かれます。

②は、①を満たすｎにたいして条件式のｍaｘの項がｎ＾２になり、
a［ｎ＋１］＝（ｎ＋１）／ｎ・a［ｎ］－ｎとなることから計算されます。

各段階で引かれたｎが１段階ごとに（ｎ＋１）／ｎ倍されていくので、
ｎ → ｎ＋１ → ｎ＋２ → ……

となってｒ番目にはｒとなることに注目します。

最初に①の条件が成り立つのがｎ＝ｍのときとし、a［ｍ］＝ｋとすると
ｒ（≧ｍ）に対して

a［ｒ］＝－ｒ（ｒ－ｍ）＋ｋｒ／ｍ

となるので、求める極限値は－１になることがわかります。

ご参考になれば幸いです。
ではでは＾＾

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