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■51828 / 1階層) 　複素フーリエ級数展開
□投稿者/ X 一般人(2回)-(2022/03/27(Sun) 18:29:42)
    一般に
    g(x)=-1(-π≦x＜0)
    g(x)=1(0＜x≦π)
    なるg(x)をフーリエ展開すると
    g(x)=(4/π)Σ[n=1〜∞]{1/(2n-1)}sin(2n-1)x (A)
    (これは教科書のフーリエ展開の項目で例として割りと書かれているものなので
    ネットなどで調べてみて下さい。)
    これを元にしてオイラーの公式を適用すれば導けます。
    (但し(A)については自力で導くことが前提になりますが。)

    (A)より
    f(x)=(1/2)g(πx)+1/2
    =1/2+(1/2)(4/π)Σ[n=1〜∞]{1/(2n-1)}sin(2n-1)πx
    =1/2-(i/2)(2/π)Σ[n=1〜∞]{1/(2n-1)}{e^{i(2n-1)πx}-e^{-i(2n-1)πx}}
    =1/2-(i/π){Σ[n=1〜∞]{1/(2n-1)}{e^{i(2n-1)πx}+Σ[n=1〜∞]{1/{-(2n-1)}}e^{i{-(2n-1)πx}}}
    =1/2-(i/π){Σ[n=1〜∞]{1/(2n-1)}e^{i(2n-1)πx}+Σ[n=-∞〜0]{1/{(2n-1)}}{e^{i{(2n-1)πx}}}
    ((∵)二つ目のΣにおいて、-n+1を改めてnと置いた)
    =1/2-(i/π){Σ[n=-∞〜∞]{1/(2n-1)}e^{i(2n-1)πx}


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