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大学 証明問題 真偽判定
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□投稿者/ WIZ 一般人(6回)-(2021/06/21(Mon) 13:45:35)
 | R は実数体、他の不等号が出てくる式中の変数も実数であると解釈して回答します。
(1) ∀y ∈ R, ∃x ∈ R, y = sin(x)
「任意の実数 y に対して、ある実数 x が存在して、y = sin(x) となる」
|y| > 1 ならば対応する x が存在しないので、判定は偽です。
(2) ∀ε> 0, ∃δ[1] > 0, ∃δ[2] > 0, δ[1]^2+δ[2]^2 < ε
「任意の正実数 εに対して、ある正実数 δ[1] とδ[2] が存在して、δ[1]^2+δ[2]^2 < εとなる」
0 < δ[1] < √(ε/2) かつ 0 < δ[2] < √(ε/2) と選べるので、判定は真です。
(3) ∀ε> 0, ∃δ> 0, ∀x > 0, (ε+δ)^x > 1
「任意の正実数 εに対して、ある正実数 δが存在して、全ての正実数 x について (ε+δ)^x > 1 となる」
1より大きい実数の、指数が正の実数である冪は1より大きいです。
# a > 1 かつ b > 0 ならば、a^b > 1 ということ。
よって、ε+δ > 1 となるように δを選べるので、判定は真です。
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