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弘前大学 2010年度 理系 過去問です。
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□投稿者/ X 一般人(2回)-(2020/08/05(Wed) 19:24:55)
 | 2020/08/05(Wed) 19:28:27 編集(投稿者)
lとCとの交点をP,Q、lとDとの交点をT,Uとし
点(0,-1)を点Aとします。
今、原点からlに下した垂線の足をHとすると
条件から
OH=k
∴△OHPにおいて三平方の定理により
PH=√(OP^2-OH^2)=√(9-k^2) (A)
△OPH≡△OQHに注意すると
PQ=2PH=2√(9-k^2) (B)
さて、条件から
H(kcosθ,ksinθ)
(0≦θ＜2π (P))
と置くことができるのでlの方程式は
(x-kcosθ)cosθ+(y-ksinθ)sinθ=0
整理をして
xcosθ+ysinθ-k=0
∴点Aからlに下した垂線の足をIとすると
点と直線との間の距離の公式により
AI=|-sinθ-k|/√{(cosθ)^2+(sinθ)^2}
=|sinθ+k|
∴(B)を求めるのと同様な過程により
TU=2√{64-|sinθ+k|^2}
=2√{64-(sinθ+k)^2} (C)
(B)(C)より、lとEの共通部分の長さをLとすると
L=TU-PQ=2√{64-(sinθ+k)^2}-2√(9-k^2)
∴(P)よりLはθ=π/2のときに最小値である
2√{64-(1+k)^2}-2√(9-k^2)
を取ります。
以上から求める最小値は
2√{64-(1+k)^2}-2√(9-k^2)
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