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■50313 / 1階層) 　不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(24回)-(2020/04/18(Sat) 01:52:47)
    0＜x＜π/2でsinx＞(2/π)xが成り立つ。
    nが奇数のとき
    Σ[k=1〜n-1]1/sin(kπ/n)
    ＝2Σ[k=1〜(n-1)/2]1/sin(kπ/n)
    ＜2Σ[k=1〜(n-1)/2]1/{(2/π)(kπ/n)}
    ＝nΣ[k=1〜(n-1)/2]1/k
    ＜n(∫[1/2〜(n-1)/2+1/2]dx/x)
    ＝n{log(n/2)-log(1/2)}
    ＝nlogn
    nが偶数のとき
    Σ[k=1〜n-1]1/sin(kπ/n)
    ＝1+2Σ[k=1〜n/2-1]1/sin(kπ/n)
    ＜1+2Σ[k=1〜n/2-1]1/{(2/π)(kπ/n)}
    ＝1+nΣ[k=1〜n/2-1]1/k
    ＜1+n(∫[1/2〜n/2-1+1/2]dx/x)
    ＝1+n{log((n-1)/2)-log(1/2)}
    ＝1+nlog(n-1)
    ＜nlogn　(※)

    (※)
    1+nlog(n-1)＜nlognは、
    f(x)=xlogx-(1+xlog(x-1))とおくと
    f'(x)＜0, lim[x→∞]f(x)=0となることから言えます。

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  └Nomal Re[2]: 不等式 / グルンカ (20/04/18(Sat) 10:03) #50314

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