数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[18]: 等比数列 / Page: 0]

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■500 / inTopicNo.1)

　等比数列

□投稿者/ Ｓ山口一般人(1回)-(2005/05/08(Sun) 23:38:02)

解き方が理解できない問題があったのでおねがいします。

各項が実数である等比数列の初項から第三項までの和が２１、初項から第六項までの和が１８９であるとき、この数列の初項aと公比rを求めよ。

もうひとつあるのですが。

次の数列の初項から第n項までの和Snを求めよ。
1,1+2,1+2+2^2,1+2+2^2+2^3,1+2+2^2+2^3+2^4,‥‥‥

上のほうはすこしは理解できるんですが
下のほうはさっぱり分かりません。
ご教授おねがいします。

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■501 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 等比数列

▲▼■

□投稿者/ EC_Y 一般人(7回)-(2005/05/09(Mon) 00:04:18)

■No500に返信(Ｓ山口さんの記事)
とりあえず始めの問題から
a_2=ar, a_3=ar^2　と表せるのはわかりますか？a_6まで同様にして表してください。
a_1+a_2+a_3=21⇔a+ar+ar^2=21…甲
a_1+a_2+…+a_6=189⇔a+ar+ar^2+ar^3+ar^4+ar^5=189…乙
このあとは甲,乙の２式よりうまく計算してみてください。

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■628 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 等比数列

▲▼■

□投稿者/ Ｓ山口一般人(2回)-(2005/05/15(Sun) 20:11:53)

返事が遅れてすいません。
レスありがとうございます。

＞a_2=ar, a_3=ar^2　と表せるのはわかりますか？a_6まで同様にして表してください。

これはひとつ進むごとに交差が加えられていってるってことですよね。
だからrがひとつ進むごとに重ねられていく。ということだと分かりました。

＞a_1+a_2+a_3=21⇔a+ar+ar^2=21…甲
＞a_1+a_2+…+a_6=189⇔a+ar+ar^2+ar^3+ar^4+ar^5=189…乙

これ、ややこしいけど、計算してみます（今リアルタイムでやってますです）
ar^3+ar^4+ar^5=168かな？　なんか違ってそうですよね・・。

割ってみました。aはそれで消せると本の簡易な解説にかいていましたので。

r^3-8=0になりました。
因数分解して・・。(r-2){(r^2)+2r+4}になりました。
ということはr=2ですよね。後ろの式に当てはまるrは実数じゃないようなので。

r=2を甲の式に当てはめて、a=3が得られました。これが答えです。
ありがとうございました。

よければ下のほうも教えてくれませんか？
下のほうはさっぱり、本当に分かりません。

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■637 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 等比数列

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□投稿者/ EC_Y 一般人(16回)-(2005/05/15(Sun) 21:14:11)

■No628に返信(Ｓ山口さんの記事)
一般項a_nの求め方はわかりますか？
a_n=1+2+2^2+…+2^(n-1) だから数列{a_n}は初項１、公比２の等比数列より
a_n=2^n-1　となる。したがって
∑[k=1→n](2^k-1)=……（計算は省略させていただきます）
=2^(n+1)-n-2　　　です。

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■653 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 等比数列

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□投稿者/ Ｓ山口一般人(3回)-(2005/05/16(Mon) 20:30:54)

＞一般項a_nの求め方はわかりますか？

等比数列の一般項の求める式は　a_n=ar^(n-1) ですよね
これに当てはめて、計算してもa_n=2^n-1にならないんですよね・・（汗

あと公比がr=2と書いてるんですが、これがちょっと分かりません。
＞1,1+2,1+2+2^2,1+2+2^2+2^3,1+2+2^2+2^3+2^4,‥‥‥
の式が、２倍ずつ増えてるように見えないです・・
できれば、公比の出し方を教えてもらえませんか？

すごい最初のところでつまずいちゃってごめんなさい。
もしよければ、教えてください
おねがいします。

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■654 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 等比数列

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□投稿者/ Ｓ山口一般人(4回)-(2005/05/16(Mon) 20:33:45)

>
> 等比数列の一般項の求める式は　a_n=ar^(n-1) ですよね
> これに当てはめて、計算してもa_n=2^n-1にならないんですよね・・（汗
>
すいません！　勘違いしてました。上のところは理解できました。↑
公比の出し方がいまいち分からないので、そこをよろしければ御願いします。
簡単すぎのとこ間違えてすいません・・。（汗

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■660 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 等比数列

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□投稿者/ EC_Y 一般人(19回)-(2005/05/16(Mon) 22:24:12)

■No654に返信(Ｓ山口さんの記事)
>>
>>等比数列の一般項の求める式は　a_n=ar^(n-1) ですよね
>>これに当てはめて、計算してもa_n=2^n-1にならないんですよね・・（汗
>>
> すいません！　勘違いしてました。上のところは理解できました。↑
> 公比の出し方がいまいち分からないので、そこをよろしければ御願いします。
> 簡単すぎのとこ間違えてすいません・・。（汗

私の書き方も少し悪かったかもしれません。
問題の数列は
a_1=1 , a_2=1+2 , a_3=1+2+2^2, …ですよね？だからこれを続けていくと
a_n=1+2+2^2+…+2^(n-1) となることはわかりますか？
公比２というのはこのa_nの数列のことなんです。だからa_nをきれいにすると
a_n=2^n-1 となります。わかりにくい日本語で申し訳ないですが、まだわからなかったらまたお知らせください。

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■791 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 等比数列

▲▼■

□投稿者/ Ｓ山口一般人(5回)-(2005/05/22(Sun) 20:37:23)

ありがとうございました！
解けました！
またお返事遅れてすいません。（汗

前は分からなかったけど、詳しく教えてもらったので
道順みたいなのが分かった気がします。

これの類題を解いてみようと思います。
分からなかったらここで質問してもいいのかな（ぉ

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■792 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 等比数列

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□投稿者/ Ｓ山口一般人(6回)-(2005/05/22(Sun) 21:02:03)

■No791に返信(Ｓ山口さんの記事)

すいません。ひとつ分からないところがあったので御願いします。
さっき言った類題なんですが

9,99,999,9999,.......

この数列の和を求めよ。

a_n=10^n-1

S_n=∑[k=1→n](10^k-1)

上の式を等比数列の和を求める公式に当てはめると
公比は10、初項は9だと思うんですが
参考書ではこうなってます。

∑[k=1→n](10^k-1)=10*(10^n-1)/10-1=10~(n+1)-9n-10/9

初項が９なのにどうして１０が公式に当てはめられているのでしょうか？
９を使うと正しい答えにならないみたいだし。。

もしよければ教えてください。御願いします。

=

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■794 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 等比数列

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□投稿者/ EC_Y 一般人(24回)-(2005/05/22(Sun) 21:46:21)

■No792に返信(Ｓ山口さんの記事)
> ■No791に返信(Ｓ山口さんの記事)
>
> すいません。ひとつ分からないところがあったので御願いします。
> さっき言った類題なんですが
>
> 9,99,999,9999,.......
>
> この数列の和を求めよ。
>
> a_n=10^n-1
>
> S_n=∑[k=1→n](10^k-1)
>
> 上の式を等比数列の和を求める公式に当てはめると
> 公比は10、初項は9だと思うんですが
> 参考書ではこうなってます。
>
> ∑[k=1→n](10^k-1)=10*(10^n-1)/10-1=10~(n+1)-9n-10/9
>
> 初項が９なのにどうして１０が公式に当てはめられているのでしょうか？
> ９を使うと正しい答えにならないみたいだし。。
>
> もしよければ教えてください。御願いします。
>
>
> =

公式の勘違いをしているようです。
∑[k=1→n](10^k-1)をよく見てみてください。貴方が言っている初項は数列
9,99,999,9999,…のことだと思いますが、ここではシグマの公式より
∑[k=1→n](10^k-1)=∑[k=1→n]10^k-∑[k=1→n]
=10(10^n-1)/9-n となります。10^nの初項は10になりますから。シグマの公式をよく確認しておいてください。S山口さん。数列（特に漸化式や、帰納法）は慣れるまで結構つらい単元だと思いますが、めげずにがんばってください。

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■795 / inTopicNo.11)

　Re[10]: 等比数列

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□投稿者/ Ｓ山口一般人(7回)-(2005/05/22(Sun) 22:15:50)

あ、なるほど。
シグマの公式の初項を出すんですね。
思いっきり勘違いしてました。（汗

本当に親切に教えてくださってありがとうございました。
また等比数列で分からないところがあったら質問させてもらいます。
そのときはまたよければ御願いします。

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■819 / inTopicNo.12)

　Re[11]: 等比数列

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□投稿者/ Ｓ山口一般人(8回)-(2005/05/23(Mon) 22:15:55)

ありがとうございました！
親切に教えていただいてやっと理解できました。

ところでまた分からないところが出てきたんですが・・（ぉ

等比数列の終わりから数学的帰納法、二項定理は難しすぎて
よくわからないです・・。

S_n=1+2x+3x^2+4x^3+.....+nx^(n-1)

次の和を求めよ。

もしよければおねがいします。

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■831 / inTopicNo.13)

　Re[12]: 等比数列

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□投稿者/ EC_Y 一般人(25回)-(2005/05/24(Tue) 01:07:52)

■No819に返信(Ｓ山口さんの記事)
この問題も実はやり方が決まっています。まず
S_n=1+2x+3x^2+…+nx^(n-1)…甲　ときます。ここからが勝負ですが、
x*S_n=x+2x^2+3x^3+…+(n-1)x^(n-1)+nx^n…乙　のように甲の両辺にxをかけます。ここで甲－乙より
S_n(1-x)=1+x+x^2+x^3+…+x^(n-1)-nx^n　となります。この式の
1+x+x^2+…+x^(n-1)のところをみてください。等比数列の和の形になっているのが
わかります。したがって
S_n(1-x)=(1-x^n)/(1-x)-nx^n （ただしｘ≠１）
よってS_n={nx^(n+1)-(n+1)x^n+1}/(1-x)^2
またｘ＝１のとき
S_n=1+2+3+…+n=n(n+1)/2 となります。

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■861 / inTopicNo.14)

　Re[13]: 等比数列

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□投稿者/ Ｓ山口一般人(9回)-(2005/05/25(Wed) 17:06:06)

お返事ありがとうございます。
でもちょっとつまっちゃってます（汗

甲-乙で下のようになるのが分かりません。
S_n(1-x)=1+x+x^2+x^3+…+x^(n-1)-nx^n　　　１番

左辺がS_n-x*S_nの結果、S_n(1-x)になるのうまく理解できないです。

右辺では、S_nの第一項1をx*S_nxの第一項のxを引き算するんだと思うんですけど
そこがいまいち分かりません。
順番のそこから第二項同士、第三項同士を計算していっても
上の式の1番のようにはなりません。

俺の数学への理解が足りなんですよね（汗
おねがいします。教えて下さい。

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■954 / inTopicNo.15)

　Re[14]: 等比数列

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□投稿者/ EC_Y 一般人(27回)-(2005/05/29(Sun) 22:23:34)

■No861に返信(Ｓ山口さんの記事)
> 左辺がS_n-x*S_nの結果、S_n(1-x)になるのうまく理解できないです。

S_nでくくってください。

> 右辺では、S_nの第一項1をx*S_nxの第一項のxを引き算するんだと思うんですけど
> そこがいまいち分かりません。

右辺は指数が同じ項どうしを引きます。この問題では
2x-xとか3x^2-2x^2のようにします。ようするに

　　　S_n=1+2x+3x^2+…+ nx^(n-1)
-)x*S_n= x+2x^2+…+(n-1)x^(n-1)+nx^n
-----------------------------------------

のように乙をずらして考えてみてください。
変な図で申しわけありませんが、このように説明するしか
思いつきません。

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■956 / inTopicNo.16)

　Re[15]: 等比数列

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□投稿者/ EC_Y 一般人(28回)-(2005/05/29(Sun) 22:29:00)

■No954に返信(EC_Yさんの記事)
> ■No861に返信(Ｓ山口さんの記事)
↑ではずれてないですね。とりあえず
甲-乙は２乗どうし、３乗どうしのように次数が同じものどうしの項を
引いてください

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■970 / inTopicNo.17)

　Re[16]: 等比数列

▲▼■

□投稿者/ Ｓ山口一般人(11回)-(2005/05/30(Mon) 00:35:02)

お返事ありがとうございました。
二乗同士、三乗同士でひいていくんですね。
ってことは、右辺は1+x+x^2+x^3+.....+x^(n-1)-nx^n
ですよね。最後のnx^nはそのままマイナスになるんですね。

左辺も分からなかったんですが、説明読んでようやく分かりました。
S_nでくくると(1-x)S_nになりますね。これで計算すると・・。

等比数列の和の公式にあてはめて
初項が１で公比がｘで計算して・・。

(1-x)S_n=1-x^n/(1-x)-nx^n

これを最後まで計算すると

S_n=1-(n+1)x^(n)+nx^(n+1)/(1-x)^2

これが答えかな。

問題が載ってる参考書の答えを見ると
x=1の場合も出さないといけないみたいです（汗

上に出した答えはx=(←ノットイコールです)1の場合のらしいです（汗

等比数列の和を出すときは、公比が1に等しいときとそうでない場合
二つ出さないといけないんですか？
前までの問題ではそんなことなかったような気がするんですが・・。（汗

ちょっとその部分を教えてもらえたらうれしいです。
御願いします。

ちなみにこの問題のx=1の場合の答えは
公式通りの答えでした。→　S_n=n(n+1)/2

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■973 / inTopicNo.18)

　Re[17]: 等比数列

▲▼■

□投稿者/ EC_Y 一般人(33回)-(2005/05/30(Mon) 00:52:16)

■No970に返信(Ｓ山口さんの記事)
私のレスの831にx=1のときもちゃんとやってあります。
基本的に公比をrと設定したときはr=1のときも当然出さなければ
なりません。等比数列の和の公式の分母はr-1（もしくは1-r)
ですので、r=1のときは分母が０になってしまいます。

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■975 / inTopicNo.19)

　Re[18]: 等比数列

▲▼■

□投稿者/ Ｓ山口一般人(13回)-(2005/05/30(Mon) 01:05:21)

すいません。831に確かに書いてありました。
せっかく書いてくれてたのに970で同じことを書いてしまい
申し訳ないです。
公比が文字の場合はどちらも考えないといけないんですね。

本当に親切に教えてくださって有難うございました。

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