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■15097 / inTopicNo.1)

　わからないので教えてください。

□投稿者/ 平木慎一郎大御所(460回)-(2006/07/24(Mon) 06:33:53)

恥ずかしい質問をしますが、全くできないでの教えてください。
お願いします。
$2$\displaystyle \sum_{k=1}^n{\frac{1}{2}k(k+1)*2^{k-1}}$
の和を求めたいのですが、どうすればいいでしょうか？

それから、学校の問題集で
：次の2つの不等式を同時に満足する $2$x$ の整数値が1つであるような
　 $2$a$ の値の範囲はどうなるか。
$2$x^2-x-2>0,(2x+5)(x+a)<0$
-3≦a＜2,3≦a＜4と、これは合っていますか？
もしそうでしたら解法を示していただきたいです。
よろしくお願いいたします。

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■15098 / inTopicNo.2)

　Re[1]: わからないので教えてください。

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(484回)-(2006/07/24(Mon) 07:26:24)

■No15097に返信(平木慎一郎さんの記事)

> ：次の2つの不等式を同時に満足する $2$x$ の整数値が1つであるような
> 　 $2$a$ の値の範囲はどうなるか。
> $2$x^2-x-2>0,(2x+5)(x+a)<0$
> -3≦a＜2,3≦a＜4と、これは合っていますか？

a>5/2 のとき、-4≦-a＜-3
a<5/2 のとき、-2＜-a≦0

0≦a＜2、3＜a≦4。

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■15107 / inTopicNo.3)

　Re[2]: わからないので教えてください。

▲▼■

□投稿者/ 平木慎一郎大御所(461回)-(2006/07/24(Mon) 16:31:03)

> a>5/2 のとき、-4≦-a＜-3
> a<5/2 のとき、-2＜-a≦0
>
> 0≦a＜2、3＜a≦4。
実は模範解答が僕の示した答えなのですが全然違いますよね？
おかしいと思い、質問したのですが、a>5/2,a<5/2とは一体
どういうことなのか教えてくれませんか？

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■15113 / inTopicNo.4)

　Re[3]: わからないので教えてください。

▲▼■

□投稿者/ だるまにおん大御所(1441回)-(2006/07/24(Mon) 18:24:28)

>　-3≦a＜2,3≦a＜4と、これは合っていますか？
>　もしそうでしたら解法を示していただきたいです。

合ってないと思います。答えは　-3≦a＜2，3＜a≦4　ではないでしょうか。

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■15115 / inTopicNo.5)

　Re[1]: わからないので教えてください。

▲▼■

□投稿者/ 黄桃一般人(6回)-(2006/07/24(Mon) 18:49:48)

> $2$\displaystyle \sum_{k=1}^n{\frac{1}{2}k(k+1)*2^{k-1}}$
x≠1 のとき、
(1-x^(n+2))/(1-x)=1+x+x^2+....+x^(n+1)
なので、両辺を x で２回微分し、x=2 を代入し、さらに両辺を２で割れば
-1+2^(n-1)(n^2-n+2)
となります。
n=1,2 くらいでは確認してますが、ミスをしているかもしれませんので、
計算はご自分で確認してください。

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■15116 / inTopicNo.6)

　Re[4]: わからないので教えてください。

▲▼■

□投稿者/ だるまにおん大御所(1442回)-(2006/07/24(Mon) 18:52:34)

＊上の問題＊

$2$1+x+x^{2}+\displaystyle \cdots+x^{k+1}=\frac{x^{k+2}-1}{x-1}$

の両辺をxで2回微分して得られる等式にx=2を代入して、2で割ってみたらどうでしょうか

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■15117 / inTopicNo.7)

　Re[5]: わからないので教えてください。

▲▼■

□投稿者/ だるまにおん大御所(1443回)-(2006/07/24(Mon) 18:53:21)

あ、かぶってしまいました。すいません。

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■15118 / inTopicNo.8)

　（削除）

▲▼■

□投稿者/ -(2006/07/24(Mon) 19:10:16)

この記事は(投稿者)削除されました

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■15119 / inTopicNo.9)

　Re[5]: わからないので教えてください。

▲▼■

□投稿者/ 七一般人(7回)-(2006/07/24(Mon) 19:13:42)

補足します。
第1式の解は　x＜－1，2＜x　…　(1)
第2式の解は
a＜5/2 のとき　－5/2＜x＜－a … (2)
a＝5/2のとき解なし
a＞5/2 のとき－a＜x＜－5/2 … (3)

(1)，(3)の共通部分は－a＜x＜－5/2 この中にただ一つ整数(＝－3)が含まれるから
－4≦－a＜－3 よって 3＜a≦4

(1)，(2)の共通部分は
ⅰ) 5/2＞a≧1 のとき－5/2＜x＜－a
ⅱ) 1＞a≧－2 のとき－5/2＜x＜－1
ⅲ) a＜－2 のとき－5/2＜x＜－1，2＜x＜－a

ⅰ) のとき－5/2＜x＜－a この中にただ一つ整数(＝－2)が含まれるから
－2＜－a≦－1 よって 1≦a＜2
ⅱ)のとき－5/2＜x＜－1 この中にただ一つ整数－2が含まれる。よって 1＞a≧－2
ⅲ)のとき 2＜x＜－a の中に整数(＝3以上)が含まれてはならないから
2＜－a≦3 よって－3≦a＜－2
ⅰ)～ⅲ) より－3≦a＜2

以上より－3≦a＜2 ， 3＜a≦4

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■15121 / inTopicNo.10)

　Re[6]: わからないので教えてください。

▲▼■

□投稿者/ だるまにおん大御所(1444回)-(2006/07/24(Mon) 19:20:59)

2006/07/24(Mon) 19:34:10 編集(投稿者)

かぶったので別のやり方を考えてみました。

$2$S_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k(k+1)\cdot 2^{k-1}$ とおくと

$2$S_{n}-2S_{n}=2\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k\cdot 2^{k-1}-n(n+1) 2^{n}$ ・・・甲

ここで、 $2$T_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k\cdot 2^{k-1}$ とおくと

$2$T_{n}-2T_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}2^{k-1}-n\cdot 2^{n}$

よって $2$T_{n}=(n-1)\cdot 2^{n}+1$

甲より $2$-S_{n}=2T_{n}-n(n+1)\cdot 2^{n}$

∴ $2$\displaystyle \frac{S_{n}}{2}=-1+2^{n-1}\cdot(n^{2}-n+2)$

となって、黄桃さんの答えと一致しました。

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■15122 / inTopicNo.11)

　Re[7]: わからないので教えてください。

▲▼■

□投稿者/ 平木慎一郎大御所(463回)-(2006/07/24(Mon) 19:32:56)

■No15121に返信(だるまにおんさんの記事)
> かぶったので別のやり方を考えてみました。
>
> $2$S_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k(k+1)\cdot 2^{k-1}$ とおくと
>
> $2$S_{n}-2S_{n}=2\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k\cdot 2^{k-1}-n(n+1) 2^{n}$ ・・・甲
$2$S_{n}-2S_{n}$ から右辺に至るまでがさっぱり分からないのですが、
説明をお願いしたいです。下記の $2$T_n$ についても同じです。

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■15123 / inTopicNo.12)

　Re[8]: わからないので教えてください。

▲▼■

□投稿者/ だるまにおん大御所(1445回)-(2006/07/24(Mon) 19:41:26)

2006/07/24(Mon) 19:42:38 編集(投稿者)

ではT[n]で説明します。

    T[n]=1*1+2*2+3*2^2+・・・+    n*2^(n-1)
-) 2T[n]=    1*2+2*2^2+・・・+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n
-----------------------------------------------------
   -T[n]=  1+  2+  2^2+・・・+      2^(n-1)-n*2^n

1+2+…+2^(n-1)=2^n-1なので-T[n]=2^n-1-n*2^nとなります。

有名なやり方なので覚えておきましょう。

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■15124 / inTopicNo.13)

　Re[9]: わからないので教えてください。

▲▼■

□投稿者/ 平木慎一郎大御所(465回)-(2006/07/24(Mon) 19:55:14)

なぜ2を掛けようと考えたのですか？その根拠を示していただきたいです。

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■15125 / inTopicNo.14)

　Re[10]: わからないので教えてください。

▲▼■

□投稿者/ だるまにおん大御所(1446回)-(2006/07/24(Mon) 19:59:43)

2をかけるのがこの手の問題の定石だからです。

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■15126 / inTopicNo.15)

　Re[11]: わからないので教えてください。

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□投稿者/ 平木慎一郎大御所(466回)-(2006/07/24(Mon) 20:09:47)

■No15125に返信(だるまにおんさんの記事)
> 2をかけるのがこの手の問題の定石だからです。
確かめればわかることですが、2以外では困難なのですか？

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■15127 / inTopicNo.16)

　Re[2]: わからないので教えてください。

▲▼■

□投稿者/ 平木慎一郎大御所(467回)-(2006/07/24(Mon) 20:12:33)

■No15115に返信(黄桃さんの記事)
>> $2$\displaystyle \sum_{k=1}^n{\frac{1}{2}k(k+1)*2^{k-1}}$
> x≠1 のとき、
> (1-x^(n+2))/(1-x)=1+x+x^2+....+x^(n+1)
> なので、両辺を x で２回微分し、x=2 を代入し、さらに両辺を２で割れば
> -1+2^(n-1)(n^2-n+2)
> となります。
> n=1,2 くらいでは確認してますが、ミスをしているかもしれませんので、
> 計算はご自分で確認してください。
これもどうやったらこんな式がでてくるのかわけがわかりません。
すいません未熟者で。。

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■15128 / inTopicNo.17)

　Re[12]: わからないので教えてください。

▲▼■

□投稿者/ だるまにおん大御所(1447回)-(2006/07/24(Mon) 20:12:38)

2^2=4や2^3=8でもできそうな気がしますが、、、、2でやる方が簡単だと思います。

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■15130 / inTopicNo.18)

　Re[3]: わからないので教えてください。

▲▼■

□投稿者/ 黄桃一般人(7回)-(2006/07/24(Mon) 20:43:02)

■No15127に返信(平木慎一郎さんの記事)
> これもどうやったらこんな式がでてくるのかわけがわかりません。
定石、でしょうか。Σnx^n, Σ n^2 x^n 型の和を求める時は、この方法が使えます
(nx^n= (x^n)'*x, n^2x^n=(x^(n+1))'x-(x^n)'*x)。

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■15214 / inTopicNo.19)

　Re[4]: わからないので教えてください。

▲▼■

□投稿者/ 平木慎一郎大御所(482回)-(2006/07/26(Wed) 19:47:12)

2006/07/26(Wed) 19:47:36 編集(投稿者)

みなさん本当にありがとうございます。

解決済み!

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■15216 / inTopicNo.20)

　Re[5]: わからないので教えてください。

▲　■

□投稿者/ laki 一般人(41回)-(2006/07/26(Wed) 20:42:10)

k(k+1)*2^(k-1)=f(k)-f(k-1)...☆となるf(k)を探す。
f(k)=(ak^2+bk+c)*2^kとおいて
☆に代入,まとめて、
k(k+1)*2^(k-1)={ak^2+(2a+b)k-a+b+c}*2^(k-1)
左辺と右辺で係数比較,a=1,b=-1,c=2
よって、
1/2Σk(k+1)*2^(k-1)=1/2Σ{f(k)-f(k-1)}=1/2{f(n)-f(0)}=(k^2-k+2)*2^(k-1)-1

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