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　Re[6]: わからないので教えてください。

□投稿者/ だるまにおん大御所(1444回)-(2006/07/24(Mon) 19:20:59)

2006/07/24(Mon) 19:34:10 編集(投稿者)

かぶったので別のやり方を考えてみました。

$2$S_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k(k+1)\cdot 2^{k-1}$ とおくと

$2$S_{n}-2S_{n}=2\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k\cdot 2^{k-1}-n(n+1) 2^{n}$ ・・・甲

ここで、 $2$T_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k\cdot 2^{k-1}$ とおくと

$2$T_{n}-2T_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}2^{k-1}-n\cdot 2^{n}$

よって $2$T_{n}=(n-1)\cdot 2^{n}+1$

甲より $2$-S_{n}=2T_{n}-n(n+1)\cdot 2^{n}$

∴ $2$\displaystyle \frac{S_{n}}{2}=-1+2^{n-1}\cdot(n^{2}-n+2)$

となって、黄桃さんの答えと一致しました。

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Edit By 数学ナビゲーター