数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 迷ってる / Page: 0]

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■12754 / inTopicNo.1)

　迷ってる

□投稿者/ brazikl 一般人(1回)-(2006/05/31(Wed) 12:42:18)

微分の問題なんですけど、商の微分をしたんですけど、うまくいきません。
助けてください。

a,bを実数として、a>2とおく。xの関数A（ｘ）＝bx/x^2+ax+1について
その関数が極大値2であるとき
（１）a,bの満たす関係式はどうなりますか？
（２）A（ｘ）の増減、凹凸を確認して、A（ｘ）の概形を書いてください

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■12758 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 迷ってる

▲▼■

□投稿者/ miyup 軍団(106回)-(2006/05/31(Wed) 12:58:54)

2006/05/31(Wed) 13:31:11 編集(投稿者)
2006/05/31(Wed) 13:29:47 編集(投稿者)
2006/05/31(Wed) 13:11:11 編集(投稿者)

■No12754に返信(braziklさんの記事)

> a,bを実数として、a>2とおく。xの関数A（ｘ）＝bx/x^2+ax+1について
> その関数が極大値2であるとき
> （１）a,bの満たす関係式はどうなりますか？
> （２）A（ｘ）の増減、凹凸を確認して、A（ｘ）の概形を書いてください

$2$A(x)=\frac{bx}{x^2+ax+1}$ $2$a>2$ でよいですね？

(1) $2$A'(x)=\frac{-b(x+1)(x-1)}{(x^2+ax+1)^2}$ で、増減表より

　　 $2$b>0$ のとき極大値は $2$A(1)=\frac{b}{a+2}=2$ よって $2$b=2(a+2)$

　　 $2$b<0$ のとき極大値は $2$A(-1)=\frac{b}{a-2}=2$ よって $2$b=2(a-2)$

　　　　　　　　ここで $2$a-2>0$ より $2$b>0$ となり矛盾

　　以上より、 $2$b>0$ であり、 $2$b=2(a+2)$

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■12759 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 迷ってる

▲▼■

□投稿者/ miyup 軍団(107回)-(2006/05/31(Wed) 14:01:22)

■No12758に返信(miyupさんの記事)

(2) 分母について $2$x^2+ax+1=0$ を解くと $2$x=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4}}{2}$ で

　　　漸近線 $2$x=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4}}{2}$ が存在します。

　　　 $2$\frac{-a-\sqrt{a^2-4}}{2}<-1<\frac{-a+\sqrt{a^2-4}}{2}<0$ に留意して下さい。

　　また、 $2$\lim_{x \to \infty}A(x)=0$ $2$\lim_{x \to -\infty}A(x)=0$ より

　　　x軸が漸近線になります。

　　極小値は $2$A(-1)=\frac{b}{a-2}$ 極大値は $2$A(1)=\frac{b}{a+2}=2$ です。

　　　 $2$\frac{b}{a-2}>\frac{b}{a+2}=2$ より、極小値＞極大値です。

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■12763 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 迷ってる

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□投稿者/ miyup 軍団(108回)-(2006/05/31(Wed) 14:51:26)

2006/05/31(Wed) 15:01:52 編集(投稿者)
2006/05/31(Wed) 14:54:16 編集(投稿者)

■No12759に返信(miyupさんの記事)
> ■No12758に返信(miyupさんの記事)

(2) 続き

　 $2$\alpha=\frac{-a-\sqrt{a^2-4}}{2}$ $2$\beta=\frac{-a+\sqrt{a^2-4}}{2}$ とおきましょう。

　 $2$A''(x)=\frac{2b(x^3-3x-a)}{(x^2+ax+1)^3}$ で

　　 $2$f(x)=x^3-3x-a$ とおくと $2$f'(x)=3(x+1)(x-1)$

　　 $2$\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}x& &-1& &1& \\\hline f'(x)&+&0&-&0&+ \\\hline f(x)&\nearrow&2-a(<0)&\searrow&-2-a(<0)&\nearrow \end{tabular}$

　　このとき、 $2$f(x)=0$ となる $2$x=\gamma(>1)$ が存在する。

　　 $2$g(x)=x^2+ax+1$ とおくと

　　 $2$\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}x& &\alpha& &\beta& \\\hline g(x)&+&0&-&0&+ \end{tabular}$

　よって、 $2$y=A(x)$ の増減表は

　 $2$\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}x& &\alpha & &-1& &\beta & &1& &\gamma& \\\hline A'(x)&-&\times&-&0&+&\times&+&0&-&-&- \\\hline A''(x)&-&\times&+&+&+&\times&-&-&-&0&+ \\\hline A(x)&\searrow\downarrow&\times&\searrow\uparrow&A(-1)&\nearrow\uparrow&\times&\nearrow\downarrow& A(1)&\searrow\downarrow&A(\gamma)&\searrow\uparrow \end{tabular}$

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■12771 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 迷ってる

▲▼■

□投稿者/ 平木慎一郎大御所(294回)-(2006/05/31(Wed) 18:34:52)

■No12763に返信(miyupさんの記事)
> 2006/05/31(Wed) 15:01:52 編集(投稿者)
> 2006/05/31(Wed) 14:54:16 編集(投稿者)
>
> ■No12759に返信(miyupさんの記事)
>>■No12758に返信(miyupさんの記事)
>
> (2) 続き
>
> 　 $2$\alpha=\frac{-a-\sqrt{a^2-4}}{2}$ $2$\beta=\frac{-a+\sqrt{a^2-4}}{2}$ とおきましょう。
>
> 　 $2$A''(x)=\frac{2b(x^3-3x-a)}{(x^2+ax+1)^3}$ で
>
> 　　 $2$f(x)=x^3-3x-a$ とおくと $2$f'(x)=3(x+1)(x-1)$
>
> 　　 $2$\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}x& &-1& &1& \\\hline f'(x)&+&0&-&0&+ \\\hline f(x)&\nearrow&2-a(<0)&\searrow&-2-a(<0)&\nearrow \end{tabular}$
>
> 　　このとき、 $2$f(x)=0$ となる $2$x=\gamma(>1)$ が存在する。
>
> 　　 $2$g(x)=x^2+ax+1$ とおくと
>
> 　　 $2$\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}x& &\alpha& &\beta& \\\hline g(x)&+&0&-&0&+ \end{tabular}$
>
> 　よって、 $2$y=A(x)$ の増減表は
>
> 　 $2$\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}x& &\alpha & &-1& &\beta & &1& &\gamma& \\\hline A'(x)&-&\times&-&0&+&\times&+&0&-&-&- \\\hline A''(x)&-&\times&+&+&+&\times&-&-&-&0&+ \\\hline A(x)&\searrow\downarrow&\times&\searrow\uparrow&A(-1)&\nearrow\uparrow&\times&\nearrow\downarrow& A(1)&\searrow\downarrow&A(\gamma)&\searrow\uparrow \end{tabular}$
>
増減表なんか書けるんですね。
びっくりしました。

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■12781 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 迷ってる

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□投稿者/ miyup 軍団(110回)-(2006/05/31(Wed) 20:46:07)

2006/05/31(Wed) 21:40:50 編集(投稿者)
2006/05/31(Wed) 20:47:17 編集(投稿者)

■No12771に返信(平木慎一郎さんの記事)

> 増減表なんか書けるんですね。
> びっくりしました。

\begin{tabular}{c|c|c} a & b &c \\ \hline d & e & f \\ \hline g & h & i \end{tabular} で

$2$\begin{tabular}{c|c|c} a & b &c \\ \hline d & e & f \\ \hline g & h & i \end{tabular}$

が書けます。 | が縦罫線、\hline が横罫線、& で区切ります。\\は行の終わり。

でも、カーブ矢印が書けない…

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■12789 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 迷ってる

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□投稿者/ ペソモタミア＠一般人(6回)-(2006/05/31(Wed) 22:37:53)

掲示板で増減表を拝める時代になっちゃいましたか(笑)

>>brazikiさん
今回のように商の微分で混乱しちゃうときは積の微分で考えるのも手ですよ。
計算量はさほど変わりませんがやっぱ分母に4乗、とゆうのは消えるとわかっていてもなかなかやる気失せますからね(^^;)

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