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$
TeX形式数式
$
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■No50632に返信(らすかるさんの記事) > 2021/02/28(Sun) 12:27:32 編集(投稿者) > > 「整数係数多項式が有理数の範囲で因数分解されれば、整数の範囲で因数分解される」 > という定理により > x^4+(a^2+1)(a+2)x-(a+3/4)(a^2+1)が有理数係数の二次式の積に因数分解できる > ⇔ > 4x^4+4(a^2+1)(a+2)x-(4a+3)(a^2+1)が有理数係数の二次式の積に因数分解できる > ⇔ > 4x^4+4(a^2+1)(a+2)x-(4a+3)(a^2+1)が整数係数の二次式の積に因数分解できる > となります。 > > 4x^4+4(a^2+1)(a+2)x-(4a+3)(a^2+1)=(4x^2+bx+c)(x^2+dx+e) (b,c,d,eは整数) > とおいて右辺を展開すると > 4x^4+(b+4d)x^3+(c+4e+bd)x^2+(be+cd)x+ce > b+4d=0, c+4e+bd=0からb=-4d, c=4d^2-4eなので代入して > 4x^4+4(a^2+1)(a+2)x-(4a+3)(a^2+1)=(4x^2-4dx+4d^2-4e)(x^2+dx+e) > =4(x^2-dx+d^2-e)(x^2+dx+e) > aが整数のとき、元の式の定数項 -(a+3/4)(a^2+1)は整数にならないが > 上記の分解では-e^2という整数になり矛盾するので不適。 > > 4x^4+4(a^2+1)(a+2)x-(4a+3)(a^2+1)=(2x^2+bx+c)(2x^2+dx+e) (b,c,d,eは整数) > とおいて右辺を展開すると > 4x^4+2(b+d)x^3+(2c+2e+bd)x^2+(be+cd)x+ce > 2(b+d)=0, 2c+2e+bdからb=-d, c=d^2/2-e > cは整数なのでdは偶数でなければならない。よってd=2f(fは整数)として > 4x^4+4(a^2+1)(a+2)x-(4a+3)(a^2+1)=(2x^2-2fx+2f^2-e)(2x^2+2fx+e) > =4x^4+4f(f^2-e)x+e(2f^2-e) > となるから > 4(a^2+1)(a+2)=4f(f^2-e), -(4a+3)(a^2+1)=e(2f^2-e) > 2式からeを消去して整理すると > (f^2-a^2-1){(a^2+1)(a+2)^2+f^2(a^2+f^2+1)}=0 > (a^2+1)(a+2)^2+f^2(a^2+f^2+1)=0のときa=-2,f=0 > このとき-(4a+3)(a^2+1)=e(2f^2-e)からe^2=-25となり不適 > f^2-a^2-1=0のとき(f+a)(f-a)=1から解は(a,f)=(0,±1)となりa=0 > 逆にa=0のとき(与式)=(x^2-x+3/2)(x^2+x-1/2)となり条件を満たす。 > よって条件を満たす整数aはa=0のみ。 >
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■50637
/ inTopicNo.1)
Re[4]: 因数分解
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□投稿者/ ホワイトハウス
一般人(3回)-(2021/03/03(Wed) 11:24:51)
有難うございました。
本当に大変参考になりました。
解決済み!
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■50636
/ inTopicNo.2)
Re[3]: 因数分解
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□投稿者/ らすかる
一般人(10回)-(2021/02/28(Sun) 12:28:01)
ごめんなさい、何か勘違いして見落としていたようです。
元の回答の「{ }内は正だから・・・」のあたりを修正しましたので
再度見ていただけたらと思います。
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■50635
/ inTopicNo.3)
Re[2]: 因数分解
▲
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□投稿者/ ホワイトハウス
一般人(2回)-(2021/02/28(Sun) 09:33:02)
有難うございます。
{ }内が0ではないということはすぐに分かるのでしょうか?
a=-2, f=0のとき0になって4x^4+25=4x^4-e^2となり不適当とはなりますが・・・
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■50632
/ inTopicNo.4)
Re[1]: 因数分解
▲
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□投稿者/ らすかる
一般人(8回)-(2021/02/26(Fri) 14:39:24)
2021/02/28(Sun) 12:27:32 編集(投稿者)
「整数係数多項式が有理数の範囲で因数分解されれば、整数の範囲で因数分解される」
という定理により
x^4+(a^2+1)(a+2)x-(a+3/4)(a^2+1)が有理数係数の二次式の積に因数分解できる
⇔
4x^4+4(a^2+1)(a+2)x-(4a+3)(a^2+1)が有理数係数の二次式の積に因数分解できる
⇔
4x^4+4(a^2+1)(a+2)x-(4a+3)(a^2+1)が整数係数の二次式の積に因数分解できる
となります。
4x^4+4(a^2+1)(a+2)x-(4a+3)(a^2+1)=(4x^2+bx+c)(x^2+dx+e) (b,c,d,eは整数)
とおいて右辺を展開すると
4x^4+(b+4d)x^3+(c+4e+bd)x^2+(be+cd)x+ce
b+4d=0, c+4e+bd=0からb=-4d, c=4d^2-4eなので代入して
4x^4+4(a^2+1)(a+2)x-(4a+3)(a^2+1)=(4x^2-4dx+4d^2-4e)(x^2+dx+e)
=4(x^2-dx+d^2-e)(x^2+dx+e)
aが整数のとき、元の式の定数項 -(a+3/4)(a^2+1)は整数にならないが
上記の分解では-e^2という整数になり矛盾するので不適。
4x^4+4(a^2+1)(a+2)x-(4a+3)(a^2+1)=(2x^2+bx+c)(2x^2+dx+e) (b,c,d,eは整数)
とおいて右辺を展開すると
4x^4+2(b+d)x^3+(2c+2e+bd)x^2+(be+cd)x+ce
2(b+d)=0, 2c+2e+bdからb=-d, c=d^2/2-e
cは整数なのでdは偶数でなければならない。よってd=2f(fは整数)として
4x^4+4(a^2+1)(a+2)x-(4a+3)(a^2+1)=(2x^2-2fx+2f^2-e)(2x^2+2fx+e)
=4x^4+4f(f^2-e)x+e(2f^2-e)
となるから
4(a^2+1)(a+2)=4f(f^2-e), -(4a+3)(a^2+1)=e(2f^2-e)
2式からeを消去して整理すると
(f^2-a^2-1){(a^2+1)(a+2)^2+f^2(a^2+f^2+1)}=0
(a^2+1)(a+2)^2+f^2(a^2+f^2+1)=0のときa=-2,f=0
このとき-(4a+3)(a^2+1)=e(2f^2-e)からe^2=-25となり不適
f^2-a^2-1=0のとき(f+a)(f-a)=1から解は(a,f)=(0,±1)となりa=0
逆にa=0のとき(与式)=(x^2-x+3/2)(x^2+x-1/2)となり条件を満たす。
よって条件を満たす整数aはa=0のみ。
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■50631
/ inTopicNo.5)
因数分解
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□投稿者/ ホワイトハウス
一般人(1回)-(2021/02/25(Thu) 18:21:49)
xの4次式 x^4+(a^2+1)(a+2)x-(a+3/4)(a^2+1) が有理数係数の2次式の積に因数分解できるような整数aを全て求めよ。
教えて下さい。よろしくお願いします。
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