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■50275
/ inTopicNo.1)
正射影再び(笑)
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□投稿者/ あすなろ
一般人(3回)-(2020/04/11(Sat) 11:38:47)
50272の問題自体は正三角形から二等辺三角形の変形ですから、教えていただいた回答自体は一応納得できたのですが、正射影したとき、本当にそうなるのか直感的にはわかりづらいものがあります。
この問題は図のような正三角形を描いた紙を真上から見ながら、直線DEを回転軸として回転させたら、上から見たときBC、ACが二等辺三角形になる瞬間があることと同じと考えていいのでしょうか?
いま、回転式の鏡に貼り付けて真上から撮影しているのですが、なかなかうまくいきません(笑)。
913×684 => 250×187
1586572727.png
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■50277
/ inTopicNo.2)
Re[1]: 正射影再び(笑)
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□投稿者/ らすかる
一般人(10回)-(2020/04/11(Sat) 13:09:08)
図の正三角形が、正三角形の状態以外でBC=ACになることがあるか、
という質問なら、なることはありません。
なぜなら、回転軸に対して角度が大きい直線ほど
回転したときの縮小率が大きくなるからです。
よって正三角形以外の状態では常にAC<AB<BCとなります。
計算式で考えると、次のようになります。
Cを通りDEと平行な直線とA,BからDEにそれぞれ下した垂線の交点をP,Qとすると
AC=√(AP^2+CP^2)、BC=√(BQ^2+CQ^2)ですね。
このうち、CP,CQつまり水平成分は回転によって変わらず、
AP,BQつまり垂直成分が|cosθ|を掛けた長さになります。
すなわち
ACを回転すると√{(APcosθ)^2+CP^2}
BCを回転すると√{(BQcosθ)^2+CQ^2}
となるわけですね。
AC=BCなのでAP^2+CP^2=BQ^2+CQ^2ですが
AP>BQ,|cosθ|<1のとき
{(BQcosθ)^2+CQ^2}-{(APcosθ)^2+CP^2}
=(BQ^2-AP^2)(cosθ)^2+(CQ^2-CP^2)
=(BQ^2-AP^2)(cosθ)^2+(AP^2-BQ^2)
=(AP^2-BQ^2){1-(cosθ)^2}>0
よって
(BQcosθ)^2+CQ^2>(APcosθ)^2+CP^2
∴BC>AC
のようになります。
従って、正三角形を回転して二等辺三角形になるためには
2辺の回転軸に対する角度が同じ、つまり1辺が回転軸に垂直または平行
でなければいけないことがわかります。
逆に、1辺が回転軸に垂直または平行の場合に
回転して常に二等辺三角形になることは、
直感的に明らかですね。
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■50278
/ inTopicNo.3)
Re[2]: 正射影再び(笑)
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□投稿者/ あすなろ
一般人(4回)-(2020/04/11(Sat) 14:59:56)
回答ありがとうございます。
いま時間がないので、あとでじっくり読ませていただきます。ちょっと自分が勘違いしていたこともあったので、それも併せてもう一度よく考えてみます。
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■50279
/ inTopicNo.4)
Re[3]: 正射影再び(笑)
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□投稿者/ あすなろ
一般人(5回)-(2020/04/11(Sat) 19:30:55)
遅くなりました。
元の問題を見る限り、回転する台に描かれた正三角形の辺 AB は回転軸 DE に垂直になっていません。少なくとも、そう見えません(笑)。このため、正三角形の描き方は任意でも二等辺三角形に正射影されることもあるのかなあと思い込んでしまいました。
しかしそうではなく、問題の
「正射影によりB'C'=C'A'になる」
という条件から、台に描かれる正三角形の辺 AB は回転軸 DE に垂直になることを見抜く必要があった・・・という理解でよろしいでしょうか?
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■50280
/ inTopicNo.5)
Re[4]: 正射影再び(笑)
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□投稿者/ らすかる
一般人(11回)-(2020/04/11(Sat) 20:38:46)
はい、その通りです。
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■No50277に返信(らすかるさんの記事) > 図の正三角形が、正三角形の状態以外でBC=ACになることがあるか、 > という質問なら、なることはありません。 > なぜなら、回転軸に対して角度が大きい直線ほど > 回転したときの縮小率が大きくなるからです。 > よって正三角形以外の状態では常にAC<AB<BCとなります。 > > 計算式で考えると、次のようになります。 > Cを通りDEと平行な直線とA,BからDEにそれぞれ下した垂線の交点をP,Qとすると > AC=√(AP^2+CP^2)、BC=√(BQ^2+CQ^2)ですね。 > このうち、CP,CQつまり水平成分は回転によって変わらず、 > AP,BQつまり垂直成分が|cosθ|を掛けた長さになります。 > すなわち > ACを回転すると√{(APcosθ)^2+CP^2} > BCを回転すると√{(BQcosθ)^2+CQ^2} > となるわけですね。 > AC=BCなのでAP^2+CP^2=BQ^2+CQ^2ですが > AP>BQ,|cosθ|<1のとき > {(BQcosθ)^2+CQ^2}-{(APcosθ)^2+CP^2} > =(BQ^2-AP^2)(cosθ)^2+(CQ^2-CP^2) > =(BQ^2-AP^2)(cosθ)^2+(AP^2-BQ^2) > =(AP^2-BQ^2){1-(cosθ)^2}>0 > よって > (BQcosθ)^2+CQ^2>(APcosθ)^2+CP^2 > ∴BC>AC > のようになります。 > > 従って、正三角形を回転して二等辺三角形になるためには > 2辺の回転軸に対する角度が同じ、つまり1辺が回転軸に垂直または平行 > でなければいけないことがわかります。 > 逆に、1辺が回転軸に垂直または平行の場合に > 回転して常に二等辺三角形になることは、 > 直感的に明らかですね。 >
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