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■50186
/ inTopicNo.1)
$D_n$加群のフーリエ変換と関数のフーリエ変換との関係について
▼
■
□投稿者/ おじゃん
一般人(1回)-(2019/11/25(Mon) 20:16:25)
を
変数のWeyl代数とし,
を変数
に関する微分作用素とします.
左
加群
に対し,そのフーリエ変換
は
に対する
の作用
を
,
と定めた左
加群として定義されています.
つまり,フーリエ変換前と後で
,
という対応関係があるように見えます.
ところが,例えば1変数関数
のフーリエ変換
を考えると,
,
となり,
,
という対応関係があるように見え,加群のフーリエ変換を考えたときには出てこなかった虚数単位
が出てきてしまいます.
これら2種類のフーリエ変換は何らかの関係で結び付けられているのでしょうか?
もしくは,似たような変換なのでフーリエという名前がついているだけで,実際に行っている操作には何ら対応関係は無いのでしょうか?
お答えいただけると幸いです.
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■No50186に返信(おじゃんさんの記事) > $D_n$を$n$変数のWeyl代数とし,$\partial_i$を変数$x_i$に関する微分作用素とします. > 左$D_n$加群$M$に対し,そのフーリエ変換$\mathcal{F}(M)$は$u \in M$に対する$D_n$の作用$\circ$を > $\partial_i \circ u := x_i u$, > $x_i \circ u := -\partial_i u$ > と定めた左$D_n$加群として定義されています. > つまり,フーリエ変換前と後で > $x_i \leftrightarrow \partial_i$, > $\partial_i \leftrightarrow -x_i$ > という対応関係があるように見えます. > > ところが,例えば1変数関数$u(x)$のフーリエ変換$F(u)(t)$を考えると, > $\partial_t F(u)(t) = -iF(x \cdot u)(t)$, > $t \cdot F(u)(t) = -iF(\partial_x u)(t)$ > となり, > $\partial_i \leftrightarrow -ix_i$, > $x_i \leftrightarrow -i\partial_i$ > という対応関係があるように見え,加群のフーリエ変換を考えたときには出てこなかった虚数単位$i$が出てきてしまいます. > > これら2種類のフーリエ変換は何らかの関係で結び付けられているのでしょうか? > もしくは,似たような変換なのでフーリエという名前がついているだけで,実際に行っている操作には何ら対応関係は無いのでしょうか? > お答えいただけると幸いです.
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