|
出題校：センター試験
2003年度 本試験 数学I・数学A 解答 第1問，第2問，第3問，第4問，第5問 第1問 （必須問題） （配点 40）[top]
- [1]
- 2次関数
y=−2
x 2 +ax+b
のグラフを
C とする。
C は頂点の座標が
( a ア
, a
2 イ
+b )
の放物線である。
C が点
( 3,−8
) を通るとき，
b=ウエ
a+10 が成り立つ。このときのグラフ
C を考える。 | | | |
|
| 下の表示は左の記述をMathPlayer（フリーソフト）をインストールして数式を正常に表示した状態です。MathPlayerのインストール手順はここを見てください。 |
 |
|
| |
|
-
- (1)
-
C が
x 軸と接するとき，
a=オ
または
a=カキ
である。
a=カキ
のときの放物線は，
a=オ
のときの放物線を
x 軸方向に
ク だけ平行移動したものである。
- (2)
-
C の頂点の
y 座標が最小になるのは，
a=ケコ
のときで，このときの最小値は
サシ
である。
-
- 解き方
| |
- [2]
-
一辺の長さが1の立方体の8個の頂点A，B，C，D，E，F，G，H が図のような位置関係にあるとする。この8個の頂点から相異なる3点を選び，それらを頂点とする三角形をつくる。
- (1)
- 三角形全部で スセ
個できる。また，互いに合同でない三角形は全部で ソ
種類ある。
- (2)
- △ABCと合同になる確率は
タ
チ
であり，また，正三角形になる確率は
ツ
テ
である。
- (3)
- 三角形の面積の期待値は
ト +ナ
2 + 3
ニヌ
である。
解き方
| |
| 第2問 （必答問題） （配点 40）[top]
- [1]
-
- (1)
-
p ，
q ，
r を実数とし，
x についての整式
A ，
B を
A= x 3 +p
x 2 +qx+r
B= x 2 −3x+2
とする。 - (a)
-
A を
B で割ったときの商が
x−1 であった。このとき，
p=アイ
である。
- (b)
-
A を
B で割ったときの余りが
x で割り切れた。このとき，
r=ウ
p+エ
である。 - (c)
-
A を
B で割ったとき，その商と余りが等しくなった。このとき，
q+r=オ
である。 解き方
- (2)
-
a ，
b を実数として，次の ア
〜ケ
に，下の
〜  のうちから当てはまるものを一つずつ選べ。
( | a+b
|+|
a−b |
) 2 =2(
a 2 +
b 2 +カ
) であるから，
( | a+b
|+|
a−b |
) 2 =4
a 2 が成り立つための必要十分条件は キ
である。キ
でないときは
( | a+b
|+|
a−b |
) 2 =ク
となる。 また，
1 2 (
| a+b
|+| a−b
| )=b
が成り立つための必要十分条件は ケ
である。 |
a 2 | 
b 2 | 
4 a 2
| 
4 b 2
| 
ab | 
| ab |
| 
2ab | 
2| ab
| | 
a 2 −
b 2 | 
b 2 −
a 2 | 
| a 2
− b 2
| | 
a 2 ≦ b
2 | 
a 2 ≧ b
2 | 
a≦| b |
| 
| a |≦b
| 
a≧| b |
| |
| a |≧b
| | | |  | | | |
解き方 -
| |
- [2]
- △ABCにおいて，
AB=5 ，
BC=2 3
，
CA=4+ 3
とする。こととき，
cosA= コ
サ
である。△ABCの面積は
シス +セ
ソ
2 である。 BをとおりCAに平行な直線と△ABCの外接円との交点のうち，Bと異なる方をDとするとき，
BD=タ
+ チ
であり，台形ADBCの面積は ツテ
である。 | |
|
第3問 （選択問題） （配点 20）[top]
- (1)
- 等比数列
18, −6
3 , 6,
・・・・・・の第6項は
アイ
ウ
エ
であり，初項から第15項までの奇数版目の項の和は
オカキク
ケコサ
である。
- (2)
- 数列
1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，・・・・・・ の第
n 項を
a n とする。この数列を 1｜2，2｜3，3，3｜4，4，4，4｜5，5，5，5，5｜6，・・・・・・ のように1個，2個，3個，4個，・・・・・・と区画に分ける 第1区画から第20区画までの区画に含まれる項の個数は シスセ
であり，
a 215 =ソタ
となる。、また，第1区画から第20区画までの区画に含まれる項の総和は チツテト
であり，
a 1 + a
2 + a 3
+⋯⋯+
a n ≧3000
となる最小の自然数
n は ナニヌ
である。 | |
|
第4問 （選択問題） （配点 ２０）[top]
AB=AC である二等辺三角形ABCの内接円の中心を I とし，内接円 I と辺BCの接点をDとする。
辺BAの延長と点Eで，辺BCの延長と点Fで接し，辺ACと接する∠B内の円の中心（傍心）をGとする。
次の文章中の アイ
，ウエ
，オカ
については，当てはまる文字をA〜Gのうちから選べ。ただし，オとカは解答の順序を問わない。 
- (１)
-
AD=GF
が成り立つことを示そう。
2∠EAG=∠Eアイ
=∠ABC+∠Bウエ
=2∠ABC
であるから，
∠EAG=∠ABC
となる。したがって，直線 オカ
と直線BFは平行である。さらに，A，I，Dは一直線上にあって，
∠ADC=∠GFD=キク
° であるから，四角形ADFGは ケ
となる。よって，
AD=GF
である。ただし，ケ
には，次の〜のうちから最もふさわしいものを選べ。
- (2)
-
AB=5 ，
BD=2 のとき，IGの長さを求めよう。まず，
AD= コサ
であり，
AI= シ
コサ
ス
となる。また，
∠AGI=∠CBI=∠ABI
であるから，
AG=セ
となり，
AI= ソ
タチ
ツ
である。 | |
| 第5問 （選択問題） （配点 20）[top] 下のプログラムは，自然数
N を入力して，ア
を小さい順にa(1)= ， a(2)= ，・・・と表示し，されにそれらの和をS= と表示するもとである。ただし，このプログラムにおいて，INT(A)はAを超えない最大の整数を表す。
ア
に当てはまるものを，次の〜のうちから一つ選べ。
|
N 以下の正の奇数で3の倍数であるもの |
|
N 以下の正の奇数で3の倍数でないもの |
|
N 以下の正の偶数で3の倍数であるもの |
|
N 以下の正の偶数で3の倍数でないもの |
| 100 | | S=0 |
| 110 | | T=0 | | 120 | | INPUT
"N=";N | | 130 | | FOR K=1 TO N |
| 140 | | IF INT(K/2)=K/2 THEN GOTO 190 |
| 150 | | IF INT(K/3)=K/3 THEN GOTO 190 |
| 160 | | T=T+1 | | 170 | |
S=イ
| | 180 | | PRINT"a(";ウ
;")="; エ
| | 190 | | NEXT
K | | 200 | | PRINT "S=";S |
| 210 | | END |
- (1)
- イ
〜エ
に当てはまるものを，次の
〜のうちから一つずつ選び，プログラムを完成させよ。
- (2)
- このプログラムを実行して，
N として10を入力すると，a(1)からa(オ
)までと S=カキ
が表示される。このとき，150行は ク
回実行され，そのうち ケ
回は160行の実行に進んだ。
- (3)
- 最初のプログラムで140行を
140 IF
INT(K/2)<K/2 THEN GOTO 160 と変更したのち，
N として10を入力するとa(1)から a(コ
)までと S=サシ
が表示される。 | |
| | | |
