問題へ　解答へ

まず， A  を B  で割ったときの商と余りを求める。下記のような筆算の結果より，

    x    +( p+3 ) x 2 −3x+2 x 3    +p x 2    +qx+r    x 3    −3 x 2    +2x   ¯  ( p+3 ) x 2  +( q−2 )x+r  ( p+3 ) x 2 −3( p+3 )x+2( p+3 ) ¯      { ( q−2 )+3( p+3 ) }x+r−2( p+3 ) 　

商： x+( p+3 )

余り： { ( q−2 )+3( p+3 ) }x+r−2( p+3 )
　　　式を整理すると， ( 3p+q+7 )x+( −2p+r−6 )

となる。

(a)

  A  を B  で割ったときの商が x−1  であるので，恒等式

x+( p+3 )=x−1

が成り立つ。定数項の比較より， p=−4   となる。

(b)

  A  を B  で割ったときの余りが x  で割り切れたことより，恒等式

( 3p+q+7 )x+( −2p+r−6 )=0

が成り立つ。よって，恒等式の性質より各係数が等しくなるので連立方程式

{ 3p+q+7=0 −2p+r−6=0

が得られる。 −2p+r−6=0  より，

r=2p+6

の関係が導かれる。

　

(3)

  A  を B  で割ったとき，その商と余りが等しいということは，

x+( p+3 ) ⏟ 商 = ( 3p+q+7 )x+( −2p+r−6 ) ⏟ 余り

という恒等式が成り立つ。恒等式の性質より各係数が等しくなるので連立方程式，

{ 1=3p+q+7 p+3=−2p+r−6

が成り立つ。この連立方程式を整理すると，

{ 3p+q=−6 3p−r=−9	・・・・・・
	・・・・・・

となる。−より，

q+r=3

が導かれる。