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2次関数
y=−2
x 2 +ax+b
を平方完成させると，
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y |
=−2 x
2 +ax+b
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・・・・・・ |
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=−2(
x 2 −
a 2 x
)+b
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=−2 (
x− a
4 ) 2
+2 (
− a 4
) 2
+b |
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=−2 (
x− a
4 ) 2
+ a
2 8 +b
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・・・・・・ |
となる。よって，頂点は
( a 4
, a
2 8 +b
)
となる。次に，この2次関数
C が点
( 3,−8
) を通ることより，に
x=3 ，
y=−8
を代入してもの関係がなりたつ。
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−8=−2·
3 2 +a·3+b
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−8=−18+3a+b
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b=−3a+10
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・・・・・・ |
となり，
a と
b の間にはの関係がる。
- (1)
-
C が
x 軸と接するということは，頂点の
y 座標が0となることと同じである。よって，
a 2
8 +b=0
・・・・・・
となる。，より連立方程式
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{
b=−3a+10
a 2 8
+b=0
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・・・・・・ |
| ・・・・・・ |
が得られる。より，
b=−
a 2 8
・・・・・・
をに代入すると，
− a 2
8 =−3a+10
となり，この式を整理すると，
a
2 =24a−80
a 2
−24a+80=0
となり，
a の2次方程式が得られる。この2次方程式を因数分解の方法を用いて解き
a の値を求めると，
(
a−4
)( a−20
)=0
a=4,20
となる。
a=4 のときより，
b=−
4 2 8
=−2
となる。
a ，
b の値をに代入すると，
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y |
=−2
( x−
4 4 )
2 +
4 2 8
−2
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=−2
( x−1
) 2
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・・・・・・ |
2次関数の頂点の座標は，
( 1,0
)
a=20 のときより，
b=−
20 2
8 =−50
となる。
a ，
b の値をに代入すると，
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y |
=−2 (
x−
20 4
) 2 +
20 2
8 −50
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=−2 (
x−5
) 2
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・・・・・・ |
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2次関数の頂点の座標は，
( 5,0
)
とを比べると
x 2
の係数が同じで，頂点が
( 1,0
) から
( 1,0
) に移動しているので，
y=−2
( x−5
) 2
は
y=−2
( x−1
) 2
を
x 軸方向に4だけ平行移動したものになる。平行移動の考え方はここを参考にしてください。
- (2)
-
C の頂点の
y 座標は，
a 2
8 +b
である。一方，
a と
b の間には
の関係があるので，
C の頂点の
y 座標を
a の関数として
f( a )=
a 2
8 −3a+10
表すことができる。
f( a )
は
a の2次関数で，
a 2
の係数が正の値であるから，最小値を持つ。
f( a )
を平方完成させると，
f( a )
=
a 2
8 −3a+10
=
1 8 (
a 2 −24a
)+10
=
1 8 (
a−12
) 2 −
12 2
8 +10
=
1 8 (
a−12
) 2 −8
となり，
a=12 のとき最小値−8となる。
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