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(1)

直線上に頂点が3点並ぶことはないので，相異なる3点を選ぶと必ず三角形をつくることができる。よって，作ることのできる三角形の個数は，8個の中から3個選ぶ組合せの総数になり，　

8 C 3 = 8·7·6 3·2·1 =56

となる。また，互いに合同でない三角形は全部で下の図に示す直角二等辺三角形，直角三角形，正三角形の3種類がある。

　

(2)

△ABCと合同になる三角形の数は，立方体の各面で下の図に示すように4通りで，立方体は全部で6面であるから，

4×6=24

三角形の総数は56であるから，△ABCと合同になる確率は

24 56 = 3 7

となる。

各面の対角線によって形成された三角形の場合，できた三角形は正三角形になる。正三角形の総数は，例えはB-AFCの三角錐を考えた時三角錐の底面が正三角形になると考えると，立方体の各頂点に対して1つ正三角形ができるといえるので，8となる。よって，正三角形になる確率は

8 56 = 1 7

となる。

(3)

期待値を求めるためには，直角三角形ができる確率を求める必要がある。この確率は，△ABCと合同になる三角形の確率と正三角形になる確率を除いた余事象の確率になることから，

1−( 3 7 + 1 7 )= 3 7

となる。あるいは，直角三角形は，立方体の辺に対して下の図のように2通りできる。よって，直角三角形の総数は2×12＝24となり，直角三角形ができる確率は，

24 56 = 3 7

と考えることもできる。

直角二等辺三角形の面積は，

1 2 ×1×1= 1 2

直角三角形の面積は，

1 2 × 2 ×1= 2 2

正三角形の面積は，

1 2 × 2 ×( 2 × 3 2 )= 3 2

となる。よって，三角形の面積の期待値は，

1 2 × 3 7 + 2 2 × 3 7 + 3 2 × 1 7 = 3+3 2 + 3 14

となる。