 | ■No1911に返信(harunaさんの記事)
> aとxを実数とする。
> xについての不等式x^2-(a^2+a-2)x+a^3-2a<0を解け。
>
> という問題なんですが、与式から{x-(a^2-2)}(x-a)---①として場合分けをしますよね。
> (1)a^2-2<aのとき-1<a<2、このとき不等式①の解はa^2-2<x<a
> (2)a^2-2=aのときa=-1,2、このとき不等式①の解はなし
> (3)a^2-2>aのときa<-1,2<a、このとき不等式①の解はa<x<a^2-2
> の、何故aの範囲が決まると不等式①の解がわかるのかがよくわかりません。
> 場合分けをする意味もよくわからないので加えて教えていただけませんでしょうか。
> 授業で説明をしなければならないのでよろしくお願いします。
>
>
2次の不等式f(x)≧0 or ≦0（方程式では f(x)=0）は y=f(x)のグラフを（頭の中でも）描けるようにしましょう。
ポイントは
・2次関数y=f(x)が上に凸か下に凸か？
・中心線（？）→y=f(x)=a(x-b)^2+c （平方完成）の形にしたときのx=b/2の直線のこと を求める。
・頂点（？）は何か？ (b,f(b))＝(b,c)
・y=f(x)とy=0 の直線が交わる点は？何か
→これが2次方程式f(x)=0の実数解です。虚数の解だとx軸とは交わりません。
これは上記平方完成式のc/a (a≠0）が正のときに等しい。
さらに、2次方程式の解の公式のルートの中が負になることに等しい。
一回自分で計算してみてください。
ここまでできれば 不等式は y=f(x) が y=0の直線の上にあるか下にあるか、というxの範囲を求めることに集約されます。
今回の場合は、f(x)=0の実数解 2個(or1個）があったとして（α、βとしましょう）、どちらが大きいかを場合分けしないと不等式が解けないのです。
（x≦α、x≧β といってもどっちが大きいかわからないと解がでません）
なのでこのような面倒くさい状況におちいるようですね(^^;)
※正式な言葉の定義は忘れてしまったので適当に書いています。 |