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ヒット / 7件

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■14965

　行列

□投稿者/ Help -(2006/07/21(Fri) 14:55:06)

行列の問題です。
$2$X(2E-X)=E$ をみたす行列 $2$X$ を求めよという問題です。

展開して整理すると、
$2$2X-X^2=E$
$2$X^2-2X+E=O$ ←0（ゼロ）ではなくて $2$O$ であってますよね？
$2$(X-E)^2=O$
これより、 $2$X=E$ としたのですが、解答にはもうひとつ
$2$\begin{pmatrix}a+1 &b \\ -\frac{a^2}{b} & 1+a \end{pmatrix}$
という答えもあるようです。この答え間違いがちょくちょくあってあまり信用できないのですが、こんな答えもありそうな感じがします。でも、どうやって導けばいいか分かりません。どなたか、よろしくお願いします。

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■14979

　Re[1]: 行列

□投稿者/ 名無し -(2006/07/21(Fri) 17:55:22)

■No14965に返信(Helpさんの記事)
> 行列の問題です。
> $2$X(2E-X)=E$ をみたす行列 $2$X$ を求めよという問題です。

> $2$(X-E)^2=O$
> これより、 $2$X=E$ としたのですが、解答にはもうひとつ
> $2$\begin{pmatrix}a+1 &b \\ -\frac{a^2}{b} & 1+a \end{pmatrix}$
> という答えもあるようです。

数の掛け算ならxy=0とx=0またはy=0は同じ意味になりますが、行列の掛け算ではそうではありません。
Oじゃないのに何かと掛け算をするとOになるような行列を零因子といいます（ゼロの約数という意味です）。

ケイリーさんとハミルトンさんが見つけた公式であるケイリー・ハミルトンの定理の二次正方行列バージョン（高校ではこのバージョンしか教えてくれません）は、零因子を避けて計算するのに役に立ちます。ケイリー・ハミルトンの定理の二次正方行列バージョンは二次の正方行列 $2$A=\begin{pmatrix} a & b \\ c &d \end{pmatrix}$ に対して $2$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$ が成り立つというものでした。これを $2$A^2=(a+d)A-(ad-bc)E$ と書き直すと、行列の掛け算をしていて零因子があるかもしれない $2$A^2$ を消すことができます。

翻って問題を眺めると、 $2$X=\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}$ とするとケイリー・ハミルトンの定理から $2$X^2=(x+w)X-(xw-yz)E$ なので、これを $2$X^2-2X+E=O$ に代入しますと、
　　　　 $2$(x+w-2)X=(xw-yz-1)E$
という式が得られるのですが、これは $2$X=kE$ となる定数が取れるか取れないかでこのあとにできる変形が変わってくるのです。

$2$X=kE$ となる場合には、 $2$\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ なので、 $2$(x+w-2)X=(xw-yz-1)E$ とか $2$(X-E)^2=O$ とかどれでもいいですが、代入してみると $2$(k-1)^2=0$ というのが出て来るのですが、これは行列じゃなくて数の式なので零因子はなくてk=1です。つまり $2$X=E$ となるわけで、これはもう見つけていましたね。それで、 $2$X=kE$ とできない場合はまだ調べてないので、調べないといけませんね。

そういうわけで、 $2$X=kE$ とできない場合を考えます。このときは、 $2$(x+w-2)X=(xw-yz-1)E$ になるには
　　　　 $2$\left\{\begin{matrix}x+w=2\\xw-yz=1\end{matrix}\right.$
でないといけません。手がかりはこれだけしかないのですが、未知数は4つで式なのに2つしかないので、これは文字を2つ減らすことしかできません。それでもこの条件しか課せられてないことがわかったわけですから、それでいいのです。そういうわけで、4つの文字を2つの文字で表せばいいので、（答えとあわせるために文字を書き換えて） $2$a=x-1$ , $2$b=y$ とおくと、 $2$x=a+1$ で、 $2$x+w=2$ に代入して $2$w=1-a$ になり、 $2$xw-yz=1$ に代入すると、 $2$(1-a^2)-bz=1$ だから、 $2$z=-\frac{a^2}{b}$ です。結局、 $2$X=\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}$ に入れると
　　　　 $2$X=\begin{pmatrix} a+1 & b \\ -\frac{a^2}{b} & 1-a \end{pmatrix}$
になりました。これが欲しかった答えなのでめでたしめでたしです。もちろん、 $2$a$ とか $2$b$ とかは天から降ってきたものにみえるので、素直に $2$w=2-x$ と $2$z=-\frac{(x-1)^2}{y}$ と解いて
　　　　 $2$X=\begin{pmatrix} x & y \\ -\frac{(x-1)^2}{y} & 2-x \end{pmatrix}$
と書いちゃって問題ないと思います。こたえまできてみると、 $2$a=x-1$ とおいたほうが見やすかったので遡って置き換えしちゃいました、ということです。

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■14981

　Re[2]: 行列

□投稿者/ Help -(2006/07/21(Fri) 19:09:48)

> $2$X=kE$ となる場合には、 $2$\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ なので、 $2$(x+w-2)X=(xw-yz-1)E$ とか $2$(X-E)^2=O$ とかどれでもいいですが、代入してみると $2$(k-1)^2=0$ というのが出て来るのですが、

　代入というのは $2$X=kE$ を代入するということですか？ $2$(X-E)^2=O$ に代入した場合には、
$2$(X-E)^2=(kE-E)^2=(k-1)E^2=O$
となりますよね。ここで、 $2$k=1$ とわかりますが、ここから $2$(k-1)^2=0$ にもっていくにはどうすればいいでしょうか？

　また、 $2$(x+w-2)X=(xw-yz-1)E$ に代入してから $2$k=1$ を導き出すまでの過程がよく分からないのですが。教えていただけますか？

　私がしていたように、 $2$(X-E)^2=O$ だから、 $2$X=E$ というのは零因子を考慮していませんが、もうひとつの答えの $2$\begin{pmatrix}a+1 &b \\ -\frac{a^2}{b} & 1+a \end{pmatrix}$ というのが零因子ということですか？

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■15002

　Re[3]: 行列

□投稿者/ 名無し -(2006/07/22(Sat) 03:56:18)

■No14981に返信(Helpさんの記事)
> 　代入というのは $2$X=kE$ を代入するということですか？ $2$(X-E)^2=O$ に代入した場合には、
> $2$(X-E)^2=(kE-E)^2=(k-1)E^2=O$
> となりますよね。
>
なりませんよ？ $2$(kE-E)^2=((k-1)E)^2=(k-1)^2E^2=(k-1)^2E$ です。計算が少し乱暴になっているようなので、落ち着いて考えましょう。

> 　また、 $2$(x+w-2)X=(xw-yz-1)E$ に代入してから $2$k=1$ を導き出すまでの過程がよく分からないのですが。教えていただけますか？
>
$2$X=kE$ ということは、 $2$x=w=k$ かつ $2$y=z=0$ なのだということを忘れずに、 $2$(x+w-2)X=(xw-yz-1)E$ にちゃんと $2$X=kE$ を代入すると、 $2$(k+k-2)kE=(k\times k-0\times 0-1)E$ になります。これを整理すれば $2$(k-1)^2E=O$ に結局はたどり着くことになり、さっきと同じ途を辿ったことになります。どれでもいいといったのはそういうことです。我々は同じものを違う形で書いているだけなので、すべての同じ結論は同じところから現れるのだと、いえるのかもしれませんね。

> 私がしていたように、 $2$(X-E)^2=O$ だから、 $2$X=E$ というのは零因子を考慮していませんが、もうひとつの答えの $2$\begin{pmatrix}a+1 &b \\ -\frac{a^2}{b} & 1+a \end{pmatrix}$ というのが零因子ということですか？
>
いいえ、惜しいのですが違います、その答えのときの $2$X-E$ が零因子です。最終的に $2$(X-A)(X-B)=O$ と同じ内容になるのは $2$X=A$ または $2$X=B$ または「 $2$X-A$ と $2$X-B$ がともに零因子」だということになります。

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■15019

　Re[4]: 行列

□投稿者/ Help -(2006/07/22(Sat) 14:43:24)

　大体は理解できました。あと少し、零因子についてなのですが。
$2$AB=O$ で $2$A=B=O$ でないのに成り立つのが零因子ですよね。 $2$X-E$ で $2$X=\begin{pmatrix}a+1 &b \\ -\frac{a^2}{b} & 1+a \end{pmatrix}$ のときは $2$X-E$ は零因子で、 $2$X=E$ のときは $2$X-E$ は零因子ではないのということですね？

　あと、 $2$(k-1)^2E=O$ から $2$(k-1)^2=0$ を導くにはどうすればいいですか？行列の式から実数の式を導くことはもちろんできますよね。両辺に $2$E^{-1}$ を掛けるとかでしょうか？

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■15046

　Re[5]: 行列

□投稿者/ 名無し -(2006/07/22(Sat) 22:04:49)

■No15019に返信(Helpさんの記事)
> $2$AB=O$ で $2$A=B=O$ でないのに成り立つのが零因子ですよね。 $2$X-E$ で $2$X=\begin{pmatrix}a+1 &b \\ -\frac{a^2}{b} & 1+a \end{pmatrix}$ のときは $2$X-E$ は零因子で、 $2$X=E$ のときは $2$X-E$ は零因子ではないのということですね？
>
そうです。

> あと、 $2$(k-1)^2E=O$ から $2$(k-1)^2=0$ を導くにはどうすればいいですか？行列の式から実数の式を導くことはもちろんできますよね。両辺に $2$E^{-1}$ を掛けるとかでしょうか？

どうすればって、成分比較こそが最も基本的なことなので忘れてはいけません。対角成分を見れば $2$(k-1)^2=0$ が現れていることに気が付くはずです。ちなみに、 $2$E^{-1}=E$ なのでそんなものを掛けても行列は消えたりしません。仮に消えたとしても、それは行列同士の関係式であることに変わりが無いので、実数の関係式に化けることは**********　絶　対　に　**********ありません。

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■15050

　Re[6]: 行列

□投稿者/ Help -(2006/07/22(Sat) 22:54:50)

そうですよね。分かりました。どうもありがとうございました！

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