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■11353  数V
□投稿者/ 間見る -(2006/04/25(Tue) 18:49:22)

    次の等式が成り立つように定数a、bの値を求めよ。
    lim(x→∞){√(x^2-1)-(ax+b)}=2


    詳しくお願いします。。
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■11355  Re[1]: 数V
□投稿者/ 平木慎一郎 -(2006/04/25(Tue) 19:08:24)
    No11353に返信(間見るさんの記事)
    >
    > 次の等式が成り立つように定数a、bの値を求めよ。
    > lim(x→∞){√(x^2-1)-(ax+b)}=2
    >
    >
    > 詳しくお願いします。。
    a>0であることに注意です。
    式変形するとでこれが成り立つためには
    なので連立させてください。
記事No.11353 のレス /過去ログ2より / 関連記事表示
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■11356  Re[1]: 数V
□投稿者/ name -(2006/04/25(Tue) 19:34:51)
    2006/04/25(Tue) 20:59:39 編集(投稿者)
    2006/04/25(Tue) 19:43:24 編集(投稿者)
    2006/04/25(Tue) 19:41:34 編集(投稿者)
    2006/04/25(Tue) 19:39:42 編集(投稿者)
    2006/04/25(Tue) 19:37:46 編集(投稿者)
    2006/04/25(Tue) 19:36:46 編集(投稿者)

    x=1/cosθ(0≦θ<π/2)とおいて、

    θ→π/2-0としたときの極限を考えてみてはどうでしょうか。
    (x→∞なのでx>1としても問題ない)

    1+(tanθ)^2=(1/cosθ)^2、tanθ>0を利用すると

    (x^2-1)^(1/2)=tanθになりますよ。

    (与式)=tanθ-(1/cosθ)a + b
        =(sinθ-a)/cosθ + b
        sinθ-aの極限値が0でないとき明らかに発散するので∴aはすくなくとも1である。

    aが1のときの(sinθ-a)/cosθの極限値を考えると、

    ロピタルの定理によって(sinθ-a)/cosθの極限値の値は0となります。・・※1

    ∴(a=1のときの与式の極限)= b
    ところで与式の極限値は2でしたから、
    ∴b=2
    ∴a=1,b=2

    ※1
    ここは大げさにロピタルの定理とか使わないほうがいいですね。すいません。
    分子と分母に(sinθ+a)をかければ、
    a=1なので
    (sinθ)^2-a^2/{cosθ(sinθ+a)}=(cosθ)^2/{cosθ(sinθ+1)}=cosθ/(sinθ+1)
    となって、
    この極限値は0であることがいえますね。
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