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■53037 / 親記事) 　方程式と不等式
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□投稿者/ スエーデン 一般人(1回)-(2026/02/17(Tue) 18:27:17)
    nを2以上の整数とし、xを
    x+x^n=1
    を満たす正の数としたとき、
    x^(n-1)-x^n<1/(n+1)
    が成り立つことを示して下さい。
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■53039 / ResNo.1) 　Re[1]: 方程式と不等式
□投稿者/ WIZ 一般人(6回)-(2026/02/18(Wed) 10:10:13)
    べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。

    0 < x^n = 1-x < 1 です。つまり 0 < x < 1 です。

    f(t) = t^(n-1)-t^n とおくと、
    f'(t) = (n-1)(t^(n-2))-n(t^(n-1)) = (t^(n-2))((n-1)-nt)
    となりますので、
    0 < t < (n-1)/n なら f'(t) > 0 なので f(t) は増加
    t = (n-1)/n なら f'(t) = 0 なので f(t) は極大
    (n-1)/n < t < 1 なら f'(t) < 0 なので f(t) は減少

    よって、0 < t < 1 なら
    f(t) ≦ f((n-1)/n) = {((n-1)/n)^(n-1)}(1-(n-1)/n) = {(n-1)^(n-1)}/(n^n)
    となります。

    {(n-1)^(n-1)}/(n^n) の逆数を考えると、
    (n^n)/{(n-1)^(n-1)} = n{(n/(n-1))^(n-1)} = n{(1+1/(n-1))^(n-1)}

    n ≧ 2 なので、二項定理により
    n{(1+1/(n-1))^(n-1)} ≧ n{1+(n-1)(1/(n-1))} = 2n
    つまり
    {(n-1)^(n-1)}/(n^n) ≦ 1/(2n) < 1/(n+1)

    0 < x < 1 ですから、
    f(x) ≦ {(n-1)^(n-1)}/(n^n) < 1/(n+1)
    となり題意は成立します。
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