 | べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。
平方数の法4での値は、偶数なら 0^2 ≡ 0, 2^2 ≡ 4 ≡ 0 (mod 4)
奇数なら 1^2 ≡ 1, 3^2 ≡ 9 ≡ 1 (mod 4) となります。
題意より以下の2つの場合に分けて考えます。
(1) 3個とも奇数の場合
a^2+b^2 ≡ 1+1 ≡ 2 (mod 4) 同様に b^2+c^2 ≡ c^2+a^2 ≡ 2 (mod 4) となりますので、
a^2+b^2, b^2+c^2, c^2+a^2 は2の1乗でのみで割り切れるといえます。
よって、(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) は2の3乗で割り切れますが、
2の4以上の偶数乗では割り切れないので平方数とはなり得ません。
(2) 1個が偶数で、他の2個が奇数の場合
aとbを奇数、cを偶数と仮定しても一般性は失われません。
a^2+b^2 ≡ 1+1 ≡ 2 (mod 4), b^2+c^2 ≡ c^2+a^2 ≡ 1+0 ≡ 1 (mod 4) となりますので、
(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) は2の1乗で割り切れますが、
2の偶数乗では割り切れないので平方数とはなり得ません。
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