 | 存在しません。
両辺を2乗すると
3-√3=(a^2+2b^2+3c^2+6d^2)+(2ab+6cd)√2+(2ac+4bd)√3+(2ad+2bc)√6 … (1)
なので
a^2+2b^2+3c^2+6d^2=3, 2ab+6cd=0, 2ac+4bd=-1, 2ad+2bc=0
2ab+6cd=0 すなわち ab+3cd=0 から (ab)^2+9(cd)^2+6abcd=0 … (2)
2ad+2bc=0 すなわち ad+bc=0 から (ad)^2+(bc)^2+2abcd=0 … (3)
(2)-(3)×3を整理して
(a^2-3c^2)(b^2-3d^2)=0
∴a=±(√3)c または b=±(√3)d
a=±(√3)c の場合
a,cは有理数なのでa=c=0
(1)に代入して整理すると
3-√3=2b^2+6d^2+4bd√3
2ac+4bd=-1 から 4bd=-1なので
2b^2+6d^2=3
16b^4+3(4bd)^2=24b^2
16b^4-24b^2+3=0
b^2=(3±√6)/4
よってbは無理数となり不適。
b=±(√3)d の場合
b,dは有理数なのでb=d=0
(1)に代入して整理すると
3-√3=(a^2+3c^2)+2ac√3
2ac+4bd=-1 から 2ac=-1なので
a^2+3c^2=3
4a^4+3(2ac)^2=12a^2
4a^4-12a^2+3=0
a^2=(3±√6)/2
よってaは無理数となり不適。
従って与式を満たす有理数a,b,c,dは存在しない。
もし(1)から
a^2+2b^2+3c^2+6d^2=3, 2ab+6cd=0, 2ac+4bd=-1, 2ad+2bc=0
が導けることを示す必要があるならば
有理数a,b,c,dに対してa+b√2+c√3+d√6=0ならばa=b=c=d=0であることの証明
a,b,c,dの分母の最小公倍数を両辺に掛けると係数が整数になるので
整数a,b,c,dに対してa+b√2+c√3+d√6=0ならばa=b=c=d=0であることを示せばよい。
a+b√2+c√3+d√6=0
a+b√2=-c√3-d√6
a^2+2b^2+2ab√2=3c^2+6d^2+6cd√2
a^2+2b^2=3c^2+6d^2, ab=3cd
a^4+4b^4+4(ab)^2=9c^4+36d^4+4(9cd)^2
a^4+4b^4+4(ab)^2=9c^4+36d^4+4(ab)^2
a^4+4b^4=9c^4+36d^4
右辺は3の倍数なのでa^4+4b^4は3の倍数
よってa,bは両方とも3の倍数なのでa=3A,b=3Bとおいて整理すると
9A^4+36B^4=c^4+4d^4
これは元の式と同じ形なので、無限降下法により0でない整数解は存在しない。
従って整数a,b,c,dに対してa+b√2+c√3+d√6=0ならばa=b=c=d=0。
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