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■52887 / 親記事) 　積分不等式
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□投稿者/ 秋田犬 一般人(1回)-(2025/06/04(Wed) 19:42:48)
    a≧0
    f(x)>0
    f'(x)>0
    のとき0≦x≦π/4で
    f(x)≧∫[a,x+a]sin(t-a)cos(t-a)f(sin(t-a))dt
    が成り立つことの証明を教えてください
    秋田大の問題です
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■52890 / ResNo.1) 　Re[1]: 積分不等式
□投稿者/ WIZ 一般人(14回)-(2025/06/05(Thu) 12:01:34)
    2025/06/05(Thu) 19:59:41 編集(投稿者)

    不定積分の1つを g(t) = ∫{sin(t-a)cos(t-a)f(sin(t-a))}dt とおきます。

    x > 0 の場合、平均値の定理より a < c < x+a となるcが存在して、
    g(x+a)-g(a) = ((x+a)-a)g'(c) = x*sin(c-a)cos(c-a)f(sin(c-a)) となります。
    0 < c-a < x ≦ π/4 なので sin(c-a) > 0, cos(c-a) > 0 ですので、
    g(x+a)-g(a) = x*sin(c-a)cos(c-a)f(sin(c-a)) > 0 といえます。

    ここで、0 < sin(c-a)cos(c-a) = sin(2(c-a))/2 < 2(c-a)/2 < x です。
    また、f'(x) > 0 よりf(x)は単調増加なのと、
    0 < sin(c-a) < c-a < x なので 0 < f(sin(c-a)) ≦ f(x) ですので、
    0 < g(x+a)-g(a) ≦ (x^2)f(x) となります。

    x = 0 の場合、g(x+a)-g(a) = (x^2)f(x) = 0 ですので、
    0 ≦ x ≦ π/4 の範囲で 0 ≦ g(x+a)-g(a) ≦ (x^2)f(x) は成立します。

    0 ≦ x ≦ π/4 < 1 なので x^2 < 1 ですので、
    f(x) > (x^2)f(x) ≧ g(x+a)-g(a) = ∫[a, x+a]{sin(t-a)cos(t-a)f(sin(t-a))}dt
    といえます。

    # a ≧ 0 という条件は使用せず、不要となってしまっていることから、
    # 私の解法は何らかの考え漏れがあるのかもしれません。
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