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■52879 / 親記事) 　微分で関数の最大値を求める
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□投稿者/ 星は昴 一般人(1回)-(2025/05/24(Sat) 18:30:11)
    　　f(x) = (n+mx)/√(1+x^2 ) = (n+mx)/(1+x^2 )^(1/2)　　 (n,m は正の定数:x>0)

    　　f'(x) = (m-nx)/{(1+x^2 )√(1+x^2 )} = 0

    　　x = m/n
    　　x<m/n⇒f'(x)>0
    　　x>m/n⇒f'(x)<0

    　したがってf(x)はx = mnで極大値をとる。

    　　f(m/n) = √{(n^2+m^2)/n}　 ①

    　　lim[x→∞](n+mx)/√(1+x^2 ) = lim[x→∞](n/x+m)/√(1/x^2 +1) = m ……②

    　　lim[x→∞](n+mx)/√(1+x^2 ) = n ……③

    　①が最大値であることを示すために、①②③の二乗を比較して①＞②、①＞③を証明したいがうまくいきません。
    　①と③を比較して

    　　{(n^2+m^2)/n}/n^2 = (n^2+m^2)/n^3

    とやっても、大小関係がわかりません。どうしたらいいでしょうか？

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■52881 / ResNo.1) 　Re[1]: 微分で関数の最大値を求める
□投稿者/ らすかる 一般人(30回)-(2025/05/24(Sat) 18:55:41)
    x＜m/n ⇔ f'(x)＞0
    x＞m/n ⇔ f'(x)＜0
    とわかっているならば、それだけでf(m/n)が最大値と決まりますので
    ②や③の計算は不要です。

    また、①は間違っています。f(m/n)=√(n^2+m^2)です。

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■52882 / ResNo.2) 　微分で関数の最大値を求める
□投稿者/ 星は昴 一般人(2回)-(2025/05/24(Sat) 19:02:08)
    　すばやい回答まことにありがとうございます。
    > x＜m/n ⇔ f'(x)＞0
    > x＞m/n ⇔ f'(x)＜0
    > とわかっているならば、それだけでf(m/n)が最大値と決まります
    　極値（この場合極大値）が１つしかないからですか？

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■52884 / ResNo.3) 　Re[3]: 微分で関数の最大値を求める
□投稿者/ らすかる 一般人(31回)-(2025/05/25(Sun) 11:36:47)
    結果的にはそういうことになるかも知れませんが、そんな難しいことは考えていません。
    グラフで考えて
    f(x)はx＜m/nで増加 → xをm/nから減らしていけばf(x)は減少し続ける → x＜m/nの範囲にf(x)≧f(m/n)となるようなxは存在しない
    f(x)はx＞m/nで減少 → xをm/nから増やしていけばf(x)は減少し続ける → x＞m/nの範囲にf(x)≧f(m/n)となるようなxは存在しない
    ということですから、f(m/n)は最大値になります。
    # もちろん、これが言えるのはf(x)が連続だからです。
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