 | 2025/05/26(Mon) 15:22:36 編集(投稿者)
最小値が存在することを前提とする別解です。
f(x) = x+1/(x^2+x) ≧ 2√(1/(x+1)) > 0 なので、最小値sは s > 0 となります。
すると、f(x) = (x^3+x^2+1)/(x^2+x) ≧ s となりますが、
x^2+x > 0ですので、(x^3+x^2+1)-s(x^2+x) ≧ 0 となります。
つまり、h(x) = x^3+(1-s)x^2-sx+1 ≧ 0 とおくことができます。
またwを正の実数定数として h(w) = 0 ならば、s = f(w) が求める最小値となります。
h'(x) = 3x^2+2(1-s)x-s です。
x > 0 の範囲で「h(x) ≧ 0」かつ「h(x) = 0となるxが存在する」ということは、
xy座標で y = h(x) のグラフが x > 0 の範囲で極小値を持ち、その極小なる点でx軸に接する必要があります。
h(x)が極小になるのが x = w > 0 とすると、「x = wはh(x) = 0の重解」かつ「h'(w) = 0」となることが必要です。
h(w) = w^3+(1-s)w^2-sw+1 = 0・・・・・(1)
h'(w) = 3w^2+2(1-s)w-s = 0・・・・・(2)
(1)より、3w^3+3(1-s)w^2-3sw+3 = 0・・・・・(3)
(2)より、3w^3+2(1-s)w^2-sw = 0・・・・・(4)
(3)-(4)より、(1-s)w^2-2sw+3 = 0
⇒ 3(1-s)w^2-6sw+9 = 0・・・・・(5)
(2)より、3(1-s)w^2+2((1-s)^2)w-s(1-s) = 0・・・・・(6)
(6)-(5)より、{2((1-s)^2)+6s}w-s(1-s)-9
⇒ 2(s^2+s+1)w+(s^2-s-9)
ここで、s^2+s+1 > 0 ですので、w = (-1/2)(s^2-s-9)/(s^2+s+1) となります。
h'(w) = 0 = 3{(-1/2)(s^2-s-9)/(s^2+s+1)}^2+2(1-s)(-1/2)(s^2-s-9)/(s^2+s+1)-s
整理すると s^4+6s^3+7s^2-6s-31 = 0 となります。
4次方程式 s^4+6s^3+7s^2-6s-31 = 0 をフェラーリの公式を使って解こうとすると、
分解方程式は有理数解を持たないので簡単には因数分解できません。
分解方程式をカルダーノの公式で解くことはできますが、解は非常に複雑な式となり、
元の4次方程式の因数分解も非常に困難な計算となり、諦めました(!)。
そこで、複2次式に変形できないか試行錯誤の末、以下のようになりました。
a, b, c, dを定数として、
s^4+6s^3+7s^2-6s-31
= (s^2+as+b)^2+c(s^2+as+b)+d
= s^4+2as^3+(a^2+2b+c)s^2+(2ab+ac)s+(b^2+bc+d)
と変形できると仮定します。
係数を比較して、
2a = 6・・・・・(A)
a^2+2b+c = 7・・・・・(B)
2ab+ac = -6・・・・・(C)
b^2+bc+d = -31・・・・・(D)
(A)より、a = 3・・・・・(E)
(E)を(B)に代入すると、3^2+2b+c = 7 ⇒ 2b+c = -2・・・・・(F)
(E)を(C)に代入すると、2*3b+3c = -6 ⇒ 2b+c = -2・・・・・(Fと同じ)
⇒ c = -2b-2・・・・・(G)
(G)を(D)に代入すると、b^2+b(-2b-2)+d = -31 ⇒ -b^2-2b+d = -31・・・・・(H)
(G)(H)と式が2個で変数は3個なので、b = 0とすれば c = -2, d = -31 となります。
以上から、
s^4+6s^3+7s^2-6s-31 = (s^2+3s)^2-2(s^2+3s)-31 = 0
⇒ s^2+3s = 1±√32 = 1±4√2
s^2+3s > 0 なので、s^2+3s = 1+4√2 です。
⇒ s = {-3±√(13+16√2)}/2
s > 0 なので、s = {-3+√(13+16√2)}/2 となります。
# 本当はwの値を求めるなりして、w > 0 を確認する必要がありますが・・・省略!
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