 | 誤りがありましたので訂正します。
> a ≧ b ≧ c と仮定しても一般性は失われません。
上記が言える為には、a, b, cをどの様に交換しても式の意味が変わらないことが必要でした。
題意の不等式の左辺 a^a+b^b+c^c はこの性質を持ちますが、
右辺 a^b+b^c+c^a この性質を持ちませんでした。
例えば、aとbを交換すると a^b+b^c+c^a は b^a+a^c+c^b と違う式になってしまいます。
a, b, cをどの様に交換しても a^b+b^c+c^a と a^c+b^a+c^b 以外の式は現れません。
既に a ≧ b ≧ c の場合、a^a+b^b+c^c ≧ a^b+b^c+c^a であることは証明したので、
後は、a^a+b^b+c^c ≧ a^c+b^a+c^b であることが証明できれば良いことになります。
a^a+b^b+c^c ≧ a^c+b^a+c^b
⇒ {(a^a-b^a)-(a^b-b^b)}+{(a^b-c^b)-(a^c-c^c)} ≧ 0
a ≧ b ≧ c なので補題より上記不等式は成立すると言えます。
申し訳ありませんでした。
|
このスレッドをツリーで一括表示