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■52299
/ 親記事)
係数
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□投稿者/ 係数
一般人(1回)-(2023/09/06(Wed) 19:33:15)
Σ[k=0,∞](5x-3x^2)^kを展開して整理してa[0]+a[1]x+a[2]x^2+…+a[n]x^n+…
と表した時の係数a[n]はどのような式で表されるのか教えて下さい。
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■52300
/ ResNo.1)
Re[1]: 係数
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□投稿者/ WIZ
一般人(1回)-(2023/09/07(Thu) 00:25:22)
2023/09/08(Fri) 00:22:54 編集(投稿者)
べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。
また、xの値に関わらず(5x-3x^2)^0 = 1とします。
Σ[k=0,∞]{(5x-3x^2)^k} = 1/{1-(5x-3x^2)}ですから、
f(x) = 1/(3x^2-5x+1)と置けば、a[0], a[1], ・・・はf(x)のマクローリン展開の係数となり、
a[0] = f(0)/(0!), a[1] = f'(0)/(1!), a[2] = f''(0)/(2!), ・・・となります。
nを非負整数として、f(x)のn階導関数をf[n](x)と表すことにします。
f[0](x)はf(x)自身です。すると、a[n] = f[n](0)/(n!)となりますね。
# おそらく質問者さんは、a[n]をもっと具体的なnの式で表すことを期待されていると思うので、
# 上記の回答では期待外れでしょうけど。
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■52304
/ ResNo.2)
Re[2]: 係数
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□投稿者/ 係数
一般人(2回)-(2023/09/08(Fri) 15:25:38)
ありがとうございます。ちなみにですが、a[n]>0になることって簡単に分かったりしますか?
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■52308
/ ResNo.3)
Re[1]: 係数
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□投稿者/ WIZ
一般人(2回)-(2023/09/11(Mon) 00:18:25)
3x^2-5x+1 = 0とおくと、x = (5±√13)/6ですので、
u = (5+√13)/6, v = (5-√13)/6とすれば、3x^2-5x+1 = 3(x-u)(x-v)です。
よって、
1/(3x^2-5x+1) = 1/{3(x-u)(x-v)}
= (1/(3(u-v))){1/(x-u)-1/(x-v)}
= (1/√13){(1/v)/(1-x/v)-(1/u)/(1-x/u)}
= (1/√13){3u/(1-3ux)-3v/(1-3vx)}
= (3/√13){uΣ[k=0,∞]((3ux)^k)-vΣ[k=0,∞]((3vx)^k)}
= (3/√13)Σ[k=0,∞]{(3^k)((u^(k+1))-(v^(k+1)))(x^k)}
但し、xの値に関わらずx^0 = 1とします。
以上から、自然数nに対してa[n] = {((3u)^(n+1))-((3v)^(n+1))}/√13となります。
u > 1 > v > 0なので、(u^(n+1))-(v^(n+1)) > 0ですので、a[n] > 0と言えそうです。
# 計算間違いしている可能性もあるので、質問者さんの方で良く検算してみてください。
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■52309
/ ResNo.4)
私について一つ: 数学に関しては私を当てにしないでください!
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□投稿者/ Lambda Winner
@
一般人(1回)-(2023/09/11(Mon) 15:09:57)
http://xolotto.com/ja/
私について一つ: 数学に関しては私を当てにしないでください! ハハハ、エッセイをたくさん書くように言ってもいいけど、数字を見ると頭が自動的に痛くなるみたい。 とにかく高校の時、係数を勉強した記憶があって すごく大変でした。
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■No52300に返信(WIZさんの記事) > 2023/09/08(Fri) 00:22:54 編集(投稿者) > > べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。 > また、xの値に関わらず(5x-3x^2)^0 = 1とします。 > > Σ[k=0,∞]{(5x-3x^2)^k} = 1/{1-(5x-3x^2)}ですから、 > f(x) = 1/(3x^2-5x+1)と置けば、a[0], a[1], ・・・はf(x)のマクローリン展開の係数となり、 > a[0] = f(0)/(0!), a[1] = f'(0)/(1!), a[2] = f''(0)/(2!), ・・・となります。 > > nを非負整数として、f(x)のn階導関数をf[n](x)と表すことにします。 > f[0](x)はf(x)自身です。すると、a[n] = f[n](0)/(n!)となりますね。 > > # おそらく質問者さんは、a[n]をもっと具体的なnの式で表すことを期待されていると思うので、 > # 上記の回答では期待外れでしょうけど。
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