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■52206 / 親記事) 　ガウス記号
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□投稿者/ ヴェスリィ 一般人(1回)-(2023/05/28(Sun) 23:10:44)
    nを3以上の奇数とし、a=(1/2)(√n+1/√n)^2とします。
    (x-1)(a-[x])>[x]{x}
    をみたす実数xの範囲の求め方を教えてください。
    [x]はxの整数部分、{x}は小数部分を表しています。
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■53032 / ResNo.1) 　Re[1]: ガウス記号
□投稿者/ WIZ 一般人(3回)-(2026/02/11(Wed) 17:21:48)
    べき乗演算子^及び平方根関数√は四則演算子より優先度が高いものとします。

    「[x]はxの整数部分、{x}は小数部分を表しています。」では定義が曖昧です。
    しかし、タイトルが「ガウス記号」となっている為、以下の定義と解釈して回答します。
    [x] := {実数xを超えない最大の整数}
    {x} := x-[x] つまり 0 ≦ {x} < 1 となります。
    # [-1.2] = -2, {-1.2} = 0.8 となるなど x < 0 の場合は注意が必要です。
    # とは言っても、本質問では x < 0 となることはないようなので取り越し苦労でしたが。

    (x-1)(a-[x]) > [x]{x}
    ⇒ ([x]+{x}-1)(a-[x]) > [x]{x}
    ⇒ a[x]+a{x}-a-[x]^2-[x]{x}+[x] > [x]{x}
    ⇒ 0 > [x]^2+(2{x}-a-1)[x]+(a-a{x})

    上記を[x]に関する2次不等式と見なし、[x]の範囲を求めると、
    [x] = {-(2{x}-a-1)±√((2{x}-a-1)^2-4(a-a{x}))}/2
    = {a+1-2{x}±√((4{x}^2+a^2+1-4a{x}-4{x}+2a)+(4a{x}-4a)}/2
    = {a+1-2{x}±√((4{x}^2-4{x}+1)+(a^2-2a)}/2
    = {a+1-2{x}±√(a^2-2a+(2{x}-1)^2)}/2

    よって、
    {a+1-2{x}-√(a^2-2a+(2{x}-1)^2)}/2 < [x] < {a+1-2{x}+√(a^2-2a+(2{x}-1)^2)}/2
    ⇒ {a+1-√(a^2-2a+(2{x}-1)^2)}/2 < [x]+{x} = x < {a+1+√(a^2-2a+(2{x}-1)^2)}/2
    となります。

    (下界) := {a+1-√(a^2-2a+(2{x}-1)^2)}/2
    (上界) := {a+1+√(a^2-2a+(2{x}-1)^2)}/2
    とおきます。

    ここで、
    a^2-2a+1 = (a-1)^2
    = {(1/2)(√n+1/√n)^2-1}^2
    = {(1/2)(n+2+1/n)-1}^2
    = {(1/2)(n+1/n)}^2

    a^2-2a = (1/4)(n+1/n)^2-1
    = (1/4)(n^2+2+1/n^2)-1
    = (1/4)(n^2-2+1/n^2)
    = {(1/2)(n-1/n)}^2

    a+1 = (1/2)(n+2+1/n)+1
    = (1/2)(n+1/n)+2

    更に、
    -1 ≦ 2{x}-1 < 1
    ⇒ 0 ≦ (2{x}-1)^2 ≦ 1
    ⇒ a^2-2a ≦ a^2-2a+(2{x}-1)^2 ≦ a^2-2a+1
    ⇒ (1/4)(n-1/n)^2 ≦ a^2-2a+(2{x}-1)^2 ≦ (1/4)(n+1/n)^2
    ⇒ (1/2)(n-1/n) ≦ √(a^2-2a+(2{x}-1)^2) ≦ (1/2)(n+1/n)
    となりますので、

    {(1/2)(n+1/n)+2-(1/2)(n+1/n)}/2 ≦ (下界) ≦ {(1/2)(n+1/n)+2-(1/2)(n-1/n)}/2
    ⇒ 1 ≦ (下界) ≦ (2+1/n)/2
    ⇒ 1 = [1] ≦ [(下界)] ≦ [1+1/(2n)] = 1

    {(1/2)(n+1/n)+2+(1/2)(n-1/n)}/2 ≦ (上界) ≦ {(1/2)(n+1/n)+2+(1/2)(n+1/n)}/2
    ⇒ (2+n)/2 ≦ (上界) ≦ (2+n+1/n)/2 = a
    ⇒ [1+n/2] ≦ [(上界)] ≦ [1+(n+1/n)/2] = [1+n/2]
    # n/2で0.5の端数が出る可能性ががあるが、n ≧ 3 より (1/n)/2 ≦ 1/6 である為
    # {(n+1/n)/2} < 1 となります。

    よって、
    1 = [(下界)] ≦ [x] ≦ [(上界)] = [1+(n+1/n)/2]
    ⇒ 1 < x < 1+(n+1/n)/2 = a

    # 最後の方はあまり自信が無いので、識者の方のツッコミをお願いします!
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